Exercicis de Equacions amb nombres factorials i nombres combinatoris

Resoldre l'equació: $$$ \begin{pmatrix} x \\ 5 \end{pmatrix}=3 \begin{pmatrix} x-1 \\ 3 \end{pmatrix}$$$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

$$$ \begin{array}{rcl} \dfrac{x!}{5!(x-5)!} &=& 3\dfrac{(x-1)!}{3!(x-4)!} \\ \dfrac{x\cancel{(x-1)!}}{5!\cancel{(x-5)!}} &=& 3\dfrac{\cancel{(x-1)!}}{3!(x-4)\cancel{(x-5)!}} \\ \dfrac{x}{5!}&=&\dfrac{3}{3!(x-4)} \\ x(x-4)&=&\dfrac{3\cdot5!}{3!} \\ x^2-4x &=& 60 \end{array}$$$

Llavors en resoldre l'equació: $$$ x=\dfrac{4\pm\sqrt{64+240}}{2}=\dfrac{4\pm\sqrt{304}}{2}$$$

Com que l'arrel $$\sqrt{304}=17.4356\ldots$$ no és un nombre enter, $$x$$ no serà nombre enter i per tant no pot formar part d'un nombre combinatori, de manera que l'equació no té solució.

Solució:

No n'hi ha.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria