Definició (axiomàtica) de la probabilitat i les seves propietats

Exercicis

Tenim una urna amb set boles, numerades de l'$$1$$ al $$7$$. El nostre experiment consisteix en treure una bola i observar quin nombre té.

a) Determina l'espai mostral, i els successos $$A =$$"treure un nombre major o igual que $$4$$", $$B =$$"treure un nombre parell", $$C =$$"treure un múltiple de $$3$$", $$D =$$"treure un nombre més gran que $$8$$", és a dir, expressa $$A, B, C$$ i $$D$$ com a conjunt de resultats possibles.

b) Calcula $$P(A), P(C), P(D), P(\overline{C}), P(\overline{D}), P(A\cup\overline{C}), P(A\cap\overline{C})$$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a)

L'espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles. En el nostre, tenim set boles numerades, de manera que $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$, és a dir, treure la bola $$1$$, treure la bola $$2$$, etc.

Només podem treure boles entre $$1$$ i $$7$$. Per tant, $$A= \{4, 5, 6, 7\}$$, que són les boles amb nombre major o igual que $$4$$.

$$B= \{2, 4, 6\}$$, ja que correspon amb els nombres parells que hi ha entre $$1$$ i $$7$$.

$$C= \{3, 6\}$$, els múltiples de $$3$$ entre $$1$$ i $$7$$.

$$D=\emptyset$$, és a dir, $$D$$ és un succés impossible, ja que només tenim boles entre $$1$$ i $$7$$, i per tant, no podem treure mai una bola amb nombres més gran que $$8$$.

b)

Utilitzarem la regla de Laplace en els primers casos, i després raons per les propietats que coneixem.

$$P(A)=\dfrac{4}{7}$$, ja que hi ha quatre casos favorables d'un total de set, i tots són equiprobables.

$$P(C)=\dfrac{2}{7}$$, com abans, aplicant la regla de Laplace.

$$P(D)=0$$, ja que és el succés impossible.

Per calcular $$P(\overline{C})$$, com ja tenim $$P(C)$$, ho fem segons $$P(\overline{C})=1-P(C)=1-\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7}$$.

Amb la mateixa fórmula, $$P(\overline{D})= 1 - P(D) = 1 - 0 = 1$$. També podríem calcular raonant que el contrari del succés impossible és el succés segur, que té probabilitat 1 per l'axioma 2.

Per calcular $$P(A\cup\overline{C})$$, hem de calcular el succés $$A\cup\overline{C}=\{4,5,6,7\}\cup\{1,2,4,5,7\}=\{1,2,4,5,6,7\}$$. Per la regla de Laplace, $$P(A\cup\overline{C})=\dfrac{6}{7}$$, ja que hi ha $$6$$ casos favorables d'un total de $$7$$ successos elementals.

Finalment, podem calcular $$P(A\cap\overline{C})$$ utilitzant la fórmula $$P(A\cup\overline{C})=P(A)+P(\overline{C})-P(A\cap\overline{C})$$.

Substituint pels valors que coneixem, $$\dfrac{6}{7}=\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}-P(A\cap\overline{C})$$. Per tant $$$P(A\cap\overline{C})=\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{6}{7}=\dfrac{3}{7}$$$

Solució:

a) $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$, $$A= \{4, 5, 6, 7\}$$, $$B= \{2, 4, 6\}$$, $$C= \{3, 6\}$$, $$D=\emptyset$$.

b) $$P(A)=\dfrac{4}{7}$$, $$P(C)=\dfrac{2}{7}$$, $$P(D)=0$$, $$P(\overline{C})=\dfrac{5}{7}$$, $$P(\overline{D})= 1$$, $$P(A\cup\overline{C})=\dfrac{6}{7}$$, $$P(A\cap\overline{C})=\dfrac{3}{7}$$.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria