Tenemos una urna con siete bolas, numeradas del $$1$$ al $$7$$. Nuestro experimento consiste en sacar una bola y observar qué número tiene.
a) Determina el espacio muestral, y los sucesos $$A =$$ "sacar un número mayor o igual que $$4$$" , $$B =$$ "sacar un número par" , $$C =$$ "sacar un múltiplo de $$3$$", $$D =$$ "sacar un número mayor que $$8$$", es decir, expresa $$A, B, C$$ y $$D$$ como conjunto de resultados posibles.
b) Calcula $$P(A), P(C), P(D), P(\overline{C}), P(\overline{D}), P(A\cup\overline{C}), P(A\cap\overline{C})$$
Desarrollo:
a)
El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. En nuestro, tenemos siete bolas numeradas, por lo que $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$, es decir, sacar la bola $$1$$, sacar la bola $$2$$, etc.
Sólo podemos sacar bolas entre $$1$$ y $$7$$. Por lo tanto, $$A= \{4, 5, 6, 7\}$$, que son las bolas con número mayor o igual que $$4$$.
$$B= \{2, 4, 6\}$$, ya que corresponde con los números pares que hay entre $$1$$ y $$7$$.
$$C= \{3, 6\}$$, los múltiplos de $$3$$ entre $$1$$ y $$7$$.
$$D=\emptyset$$, es decir, $$D$$ es un suceso imposible, puesto que sólo tenemos bolas entre $$1$$ y $$7$$, y por tanto, no podemos sacar nunca una bola con número mayor que $$8$$.
b)
Utilizaremos la regla de Laplace en los primeros casos, y luego razonaremos por las propiedades que conocemos.
$$P(A)=\dfrac{4}{7}$$, ya que hay cuatro casos favorables de un total de siete, y todos son equiprobables.
$$P(C)=\dfrac{2}{7}$$, como antes, aplicando la regla de Laplace.
$$P(D)=0$$, ya que es el suceso imposible.
Para calcular $$P(\overline{C})$$, como ya tenemos $$P(C)$$, lo hacemos según $$P(\overline{C})=1-P(C)=1-\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7}$$.
Con la misma fórmula, $$P(\overline{D})= 1 - P(D) = 1 - 0 = 1$$. También podríamos calcularla razonando que el contrario del suceso imposible es el suceso seguro, que tiene probabilidad 1 por el axioma 2.
Para calcular $$P(A\cup\overline{C})$$, debemos calcular el suceso $$A\cup\overline{C}=\{4,5,6,7\}\cup\{1,2,4,5,7\}=\{1,2,4,5,6,7\}$$. Por la regla de Laplace, $$P(A\cup\overline{C})=\dfrac{6}{7}$$, ya que hay $$6$$ casos favorables de un total de $$7$$ sucesos elementales.
Por último, podemos calcular $$P(A\cap\overline{C})$$ utilizando la fórmula $$P(A\cup\overline{C})=P(A)+P(\overline{C})-P(A\cap\overline{C})$$.
Sustituyendo por los valores que conocemos, $$\dfrac{6}{7}=\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}-P(A\cap\overline{C})$$. Por lo tanto, $$$P(A\cap\overline{C})=\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{6}{7}=\dfrac{3}{7}$$$
Solución:
a) $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$, $$A= \{4, 5, 6, 7\}$$, $$B= \{2, 4, 6\}$$, $$C= \{3, 6\}$$, $$D=\emptyset$$.
b) $$P(A)=\dfrac{4}{7}$$, $$P(C)=\dfrac{2}{7}$$, $$P(D)=0$$, $$P(\overline{C})=\dfrac{5}{7}$$, $$P(\overline{D})= 1$$, $$P(A\cup\overline{C})=\dfrac{6}{7}$$, $$P(A\cap\overline{C})=\dfrac{3}{7}$$.