Calcular una àrea no és més que integrar la funció $$1$$ al recinte o superfície determinada. Ara tindrem la superfície en l'espai i per tant haurem de restringir la integració de $$\mathbb{R}^3$$ a la nostra superfície. És l'anomenada integral de superfície, de la funció $$1$$, en el nostre cas.
Si $$S$$ és una superfície parametritzada, aleshores: $$$\text{Àrea}(S)=\int_S dS=\iint |r_u \times r_v| \ du \ dv$$$
on $$r = r (u, v)$$ és la parametrització de la superfície; $$r_u$$ i $$r_v$$ representen els vectors derivades parcials respecte de $$u$$ i $$v$$, respectivament, i $$|r_u \times r_v|$$ representa el mòdul del producte vectorial.
Per tant la dificultat del càlcul està bàsicament en parametritzar la superfície.
Anem a calcular, per veure un exemple, la superfície d'una esfera de radi $$R$$. Suposarem que està centrada a l'origen. D'aquesta manera l'esfera ve donada per l'equació: $$x^2+y^2+z^2=R^2$$.
Prenent coordenades esfèriques, tenim que la superfície es pot parametritzar per:
$$$r(\varphi,\theta)=\big( R\sin\varphi\cos\theta,R\sin\varphi\sin\theta, R\cos\varphi\big) \quad \text{ amb } \quad \varphi\in[0,\pi] \quad \theta\in[0,2\pi]$$$
Calculem ara les derivades de la parametrització i el mòdul del seu producte vectorial:
$$ \left. \begin{array}{l} r_\varphi=\big(R\cos\theta\cos\varphi, R\sin\theta\cos\varphi,-R\sin\varphi\big) \\ r_\theta=\big(-R\sin\theta\sin\varphi, R\sin\varphi\cos\theta,0\big) \end{array} \right\} $$
$$\begin{array}{lcl} \Rightarrow \ r_\varphi \times r_\theta &=& \begin{vmatrix} i & j & k \\ R\cos\theta\cos\varphi & R\sin\theta\cos\varphi & -R\sin\varphi \\ -R\sin\theta\sin\varphi & R\sin\varphi\cos\theta & 0 \end{vmatrix} \\ &=& \big( R^2\sin^2\varphi\cos\theta, R^2\sin^2\varphi\sin\theta, R^2\sin\varphi\cos\theta\big) \\ \Rightarrow \ |r_\varphi \times r_\theta| &=& \sqrt{R^4\sin^4\varphi\sin^2\theta + R^4\sin^4\varphi\cos^2\varphi + R^4\sin^2\varphi\cos^2\theta} \\ &=& \sqrt{R^4\sin^4\varphi + R^4\sin^2\varphi\cos^2\varphi} = R^2\sin\varphi \end{array}$$
Per tant, tenim: $$$ \begin{array}{rl} \text{Àrea}(S)=&\int_S dS=\iint |r_\varphi \times r_\theta| \ d\varphi \ d\theta= \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} R^2\sin\varphi \ d\varphi \ d\theta \\ =& R^2 \int_0^{2\pi}[-\cos\varphi]_0^\pi \ d\theta = 2 R^2 2\pi= 4\pi R^2 \end{array} $$$