La forma trigonomètrica d'un complex es pot expressar de manera exponencial, és a dir, qualsevol nombre complex $$z$$ té una representació del tipus: $$$ |z|\cdot e^{i\alpha}$$$ on $$|z|$$ és el seu mòdul i $$\alpha$$ el seu argument.
Si tenim els nombres complexos d'aquesta forma trigonomètrica és molt fàcil calcular les arrels enèsimes, ja que tenim
$$$\sqrt[n]{|z|\cdot e^{i\alpha}}=\sqrt[n]{|z|}\cdot \sqrt[n]{e^{i\alpha}}= \sqrt[n]{|z|}\cdot e^{i\frac{\alpha+k360^\circ}{n}}$$$
usant les propietats de les arrels i potències amb exponent racional.
En el cas particular dels nombres complexos amb mòdul $$1$$ (aquests vénen representats per $$e^{i\alpha}$$ on l'angle $$\alpha$$ és l'argument del nombre complex), llavors les arrels enèsimes seran: $$$e^{i\frac{\alpha+k360^\circ}{n}}$$$ Per a $$k = 0$$ tindrem la primera arrel, per $$k = 1$$ la segona, i així successivament fins arribar a l'arrel enèsima, que correspon a $$k = n-1$$.
Per tant, tindrem $$n$$ arrels diferents, com era d'esperar.
Vegem un exemple concret, anem a trobar les arrels enèsimes de la unitat, és a dir, del número $$1$$.
Volem determinar els $$z$$ tals que $$z^n=1$$.
$$$ 1=1\cdot[\cos(0^\circ)+i \cdot\sin(0^\circ)]=1\cdot e^{i 0^\circ}$$$
Llavors, les $$n$$ arrels de la unitat estan donades per: $$$e^{i\frac{0^\circ+360^\circ k}{n}}= e^{i\frac{360^\circ k}{n}}$$$
amb $$k = 0, \ 1, \ 2,\ \dots \ , \ (n - 1)$$.
Llavors seran: $$$\displaystyle \begin{array}{ll} k=0 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^0 = 1 \\ k=1 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{360^\circ}{n}} \\ k=2 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{n}} \\ \vdots & \vdots \\ k=n-1 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{(n-1)\cdot360^\circ}{n}} \end{array} $$$
En particular, per exemple, si $$n = 3$$ llavors les arrels són:
$$k=0 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^0 = 1 $$
$$k=1 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{360^\circ}{3}}= e^{i120^\circ} $$
$$k=2 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{3}} =e^{i240^\circ} $$
Si preferim expressar en forma trigonomètrica estesa, només cal fer:
$$k=0 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^0 = 1\cdot[\cos(0^\circ)+i \cdot\sin(0^\circ)] $$
$$k=1 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{360^\circ}{3}}= e^{i120^\circ}= 1\cdot[\cos(120^\circ)+i \cdot\sin(120^\circ)] $$
$$k=2 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{3}} =e^{i240^\circ}=1\cdot[\cos(240^\circ)+i \cdot\sin(240^\circ)] $$