Sea $$A$$ un conjunto de $$n$$ elementos. Las variaciones con repetición de $$n$$ elementos tomados de $$k$$ en $$k$$ son los grupos ordenados formados por $$k$$ elementos de $$A$$ (que pueden estar repetidos) . Se representa por $$VR_{n,k}$$.
Por ejemplo,
Si se tiene el conjunto de $$5$$ elementos $$A=\{ a,b,c,d,e \}$$:
- Las variaciones con repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$1$$ en $$1$$ son: $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ and $$e$$.
- Las variaciones con repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$2$$ en $$2$$ son: $$ab$$, $$aa$$, $$ac$$, $$dc$$, $$cc$$, $$ee$$, $$ae$$, $$ea$$, $$bc$$, $$of$$, $$bb$$, $$cd$$, $$be$$, etc...
- Las variaciones con repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$3$$ en $$3$$ son: $$abc$$, $$abb$$, $$acd$$, $$ccc$$, $$aba$$, $$dce$$, $$eed$$, $$cda$$, etc...
- Las variaciones con repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$4$$ en $$4$$ son: $$abbd$$, $$acdd$$, $$beac$$, $$eecc$$, $$dace$$, etc...
- Las variaciones con repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$5$$ en $$5$$ son: $$abcde$$, $$abbbc$$, $$aeded$$, $$daece$$, $$bcced$$, $$edcba$$, etc...
La siguiente fórmula nos da una forma mucho más rápida de contar cuantas variaciones con repetición de $$n$$ elementos tomados de $$k$$ en $$k$$ hay :$$$VR_{n,k}=n^k$$$
En el ejemplo anterior,
Se tiene que el número de variaciones con repetición de los $$5$$ elementos de $$A$$ tomados de $$3$$ en $$3$$ es: $$$VR_{5,3}=5^3=5 \cdot 5 \cdot 5 =125$$$
Como se puede ver, ¡es mucho más práctico usar la fórmula que probar todas las posibilidades a mano!