Sea $$A$$ un conjunto de $$n$$ elementos. Las variaciones de $$n$$ elementos tomados de $$k$$ en $$k$$ son el número de grupos ordenados de elementos distintos de $$A$$, y se representa por $$V_{n,k}$$.
Por ejemplo,
Tomemos el conjunto $$A=\{ a,b,c,d,e\}$$. Primero de todo, observemos que, por ejemplo, los grupos $$abc$$ y $$bca$$ se consideran diferentes, ya que aunque tienen las mismas letras ($$a$$, $$b$$ y $$c$$) no están en el mismo orden. Entonces:
- Las variaciones sin repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$1$$ en $$1$$ son: $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ y $$e$$.
- Las variaciones sin repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$2$$ en $$2$$ son: $$ab$$, $$ba$$, $$ac$$, $$ca$$, $$ad$$, $$da$$, $$ae$$, $$ea$$, $$bc$$, $$cb$$, $$bd$$, $$db$$, $$be$$, $$eb$$, etc...
- Las variaciones sin repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$3$$ en $$3$$ son: $$abc$$, $$acb$$, $$abd$$, $$adb$$, $$abe$$, $$aeb$$, $$bcd$$, $$cad$$, etc...
- Las variaciones sin repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$4$$ en $$4$$ son: $$abcd$$, $$acbd$$, $$bacd$$, $$ebac$$, $$caed$$, etc...
- Las variaciones sin repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$5$$ en $$5$$ son: $$abcde$$, $$abced$$, $$acbed$$, $$adbce$$, $$baced$$, $$bcdea$$, etc...
Como se puede ver en el ejemplo anterior, para contar cuantas posibilidades hay en cada caso puede resultar muy difícil, ya que hay muchísimas. No obstante, se puede calcular rápidamente mediante la siguiente fórmula: $$$\displaystyle V_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}$$$ donde $$n$$ es el número de elementos que tiene el conjunto $$A$$ , mientras que $$k$$ es el número de elementos que tiene el grupo que se quiere construir.
Recordemos que $$V_{n,k}$$ es la cantidad de variaciones sin repetición de $$n$$ elementos tomados de $$k$$ en $$k$$.
En el ejemplo anterior,
Con $$A=\{ a,b,c,d,e \}$$ , se tiene $$n =5$$.
Ahora, si se quiere saber cuantas variaciones sin repetición de estos $$5$$ elementos tomados de $$3$$ en $$3$$ hay, usando la fórmula se tiene que son $$60$$: $$$\displaystyle V_{5,3}=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \not{2} \cdot 1}{\not{2} \cdot 1}=60$$$