Teorema del resto y teorema del factor

Teorema del resto

El resto de dividir un polinomio $$p(x)$$ por otro de la forma $$x-a$$, coincide con el valor de $$p(a)$$.

Fijémonos que la división especificada cumple las hipótesis de la técnica de Ruffini.

Calcular el resto de la división $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, siendo $$p(x)=x^4+3x^2-x+4$$ y $$q(x)=x+2$$.

Aplicamos el teorema del resto. Nótese que en este caso $$a=-2$$. $$$p(-2)=(-2)^4+3\cdot(-2)^2-(-2)+4=16+3\cdot4+2+4=34$$$

Para comprobarlo utilizamos Ruffini:

  $$1$$ $$0$$ $$3$$ $$-1$$ $$4$$
$$-2$$   $$-2$$ $$4$$ $$-14$$ $$30$$
  $$1$$ $$-2$$ $$7$$ $$-15$$ $$34$$

Y efectivamente, coincide con la solución anterior.

Calcular el resto de la división $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, siendo $$p(x)=x^5-2x^2+x+3$$ y $$q(x)=x+1$$.

Aplicamos el teorema del resto. Nótese que en este caso $$a=-1$$. $$$p(-1)=(-1)^5-2\cdot(-1)^2+(-1)+3=-1-2-1+3=-1$$$

Para comprobarlo utilizamos Ruffini:

  $$1$$ $$0$$ $$0$$ $$-2$$ $$1$$ $$3$$
$$-1$$   $$-1$$ $$1$$ $$-1$$ $$3$$ $$-4$$
  $$1$$ $$-1$$ $$1$$ $$-3$$ $$4$$ $$-1$$

Y efectivamente, coincide con la solución anterior.

Teorema del factor

Su enunciado es el siguiente:

Un polinomio $$p(x)$$ es divisible por otro de la forma $$x-a$$ si, y sólo si, $$p(a)=0$$. En este caso, diremos que $$a$$ es una raíz o cero del polinomio $$p(x)$$.

Calcular el resto de la división $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, siendo $$p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2-1$$ y $$q(x)=x-1$$.

Aplicamos el teorema del resto: $$$p(1)=1^5+2\cdot1^4-3\cdot1^3+1^2-1=0$$$

Comprobamos el resultado por Ruffini:

  $$1$$ $$2$$ $$-3$$ $$1$$ $$0$$ $$-1$$
$$1$$   $$1$$ $$3$$ $$0$$ $$1$$ $$2$$
  $$1$$ $$3$$ $$0$$ $$1$$ $$1$$ $$0$$

Efectivamente, el resto es $$0$$. Así pues, según el teorema del factor, la división de $$p(x)$$ por $$q(x)$$ es exacta.