Identidades notables

Existen algunas expresiones algebraicas que por su importancia y utilización en Matemáticas, vale la pena memorizar. Son las llamadas identidades notables.

Cuadrado de la suma

Si $$a$$ y $$b$$ son números reales (pueden ser incógnitas!), se cumple:

$$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$$

$$(x+3)^2=x^2+2\cdot3\cdot x+3^2=x^2+6x+9$$

$$(2x+1)^2=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot1+1^2=4x^2+4x+1$$

$$\Big(x+\dfrac{1}{2}\Big)^2=x^2+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2=x^2+x+\dfrac{1}{4}$$

Cuadrado de la resta

Si $$a$$ y $$b$$ son números reales (pueden ser incógnitas!), se cumple: $$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$$

$$(x-3)^2=x^2-2\cdot3\cdot x+3^2=x^2-6x+9$$

$$(2x-1)^2=(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot1+1^2=4x^2-4x+1$$

$$\Big(x-\dfrac{1}{2}\Big)^2=x^2-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2=x^2-x+\dfrac{1}{4}$$

Cubo de la suma

De la misma manera que el cuadrado, el cubo de la suma también es importante: $$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$$

$$(x+3)^3=x^3+3\cdot x^2\cdot3+3\cdot x\cdot3^2+3^3=$$

$$=x^3+9x^2+27x+27$$

$$(2x+1)^3=(2x)^3+3\cdot(2x)^2\cdot1+3\cdot (2x)\cdot1^2+1^3=$$

$$=8x^3+12x^2+3x+1$$

$$\Big(x+\dfrac{1}{2}\Big)^3=x^3+3\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^2+3\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2\cdot x+\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^3 =$$

$$=x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{8}$$

Cubo de la resta

$$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$$

$$(x-3)^3=x^3-3\cdot x^2\cdot3+3\cdot x\cdot3^2-3^3=$$

$$=x^3-9x^2+27x-27$$

$$(2x-1)^3=(2x)^3-3\cdot(2x)^2\cdot1+3\cdot (2x)\cdot1^2-1^3=$$

$$=8x^3-12x^2+3x-1$$

$$\Big(x-\dfrac{1}{2}\Big)^3=x^3-3\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^2+3\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2\cdot x-\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^3 =$$

$$=x^3-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{8}$$

Diferencia de cuadrados

Cuando restamos dos cuadrados, el resultado es el producto de la suma por la diferencia: $$$a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)$$$

$$x^2-9=x^2-3^2=(x-3)\cdot(x+3)$$

$$4x^2-1=2^2x^2-1^2=(2x)^2-1^2=(2x+1)\cdot(2x-1)$$

$$x^2-\dfrac{1}{4}=x^2-\dfrac{1}{2^2}=\Big(x-\dfrac{1}{2}\Big)\cdot \Big(x+\dfrac{1}{2}\Big)$$

Diferencia de cubos

De manera análoga, existe una fórmula para la diferencia de cubos: $$$a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)$$$

$$x^3-27=x^3-3^3=(x-3)\cdot(x^2+3x+9)$$

$$8x^3-1=2^3x^3-1^3=(2x)^3-1^3=(2x-1)\cdot(4x^2+2x+1)$$

$$x^3-\dfrac{1}{8}=x^3-\dfrac{1}{2^3}=\Big(x-\dfrac{1}{2}\Big)\cdot \Big(x^2+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\Big)$$