Con igual denominador
La suma de dos fracciones con mismo denominador es una fracción con igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.
Para restar fracciones se procede de igual forma: se mantiene el denominador y se restan los numeradores.
Así, por ejemplo, queremos sumar las fracciones $$\dfrac{1}{5}$$ y $$\dfrac{3}{5}$$. Nos dibujamos ambas fracciones como particiones de rectángulos. La fracción $$\dfrac{1}{5}$$ es:
Y la fracción $$\dfrac{3}{5}$$ es:
Queremos hacer la suma, es decir, tener al mismo tiempo los rectángulos pintados de la primera fracción y los de la segunda. Esto nos da exactamente $$4$$ rectángulos pintados:
Con lo que tenemos que la suma de $$\dfrac{1}{5}$$ y $$\dfrac{3}{5}$$ nos da $$\dfrac{4}{5}$$. $$$\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{5}$$$
Para hacer una resta, se procede del mismo modo.
Para restar la fracción $$\dfrac{5}{7}$$ a la fracción $$\dfrac{9}{7}$$, empezamos dibujando ambas fracciones como rectángulos. La fracción $$\dfrac{9}{7}$$ es:
Y la fracción $$\dfrac{5}{7}$$ es:
Así que, si quitamos los cinco rectángulos pintados de la segunda fracción a la primera, nos queda:
(Donde hemos representado de color lila claro las celdas que estaban pintadas de rojo y hemos quitada las azules) Es decir, que: $$$\dfrac{9}{7}-\dfrac{5}{7}=\dfrac{4}{7}$$$
Esta sencilla operación se puede formular de la siguiente manera: $$$\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\pm b}{c}$$$
Con distinto denominador
A continuación, queremos realizar la siguiente suma: $$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}$$.
Los denominadores son dos números distintos, $$12$$ y $$6$$, así que no puedes aplicar lo que has visto hasta ahora. Sin embargo, hay un truco, podemos buscar una fracción equivalente a cada una, de forma que tengan el mismo denominador.
Una forma de hacerlo es, por ejemplo, multiplicando el numerador y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y multiplicar el numerador y el denominador de la segunda por el denominador de la primera.
Obtendremos así, dos fracciones equivalentes a las dadas, con el mismo denominador igual al producto de denominadores y que, por tanto, se pueden sumar o restar.
En el ejemplo que teníamos, para sumar $$\dfrac{3}{12}$$ y $$\dfrac{1}{6}$$ hacemos: $$$\dfrac{3}{12}=\dfrac{3\cdot6}{12\cdot6}=\dfrac{18}{72}$$$ y
$$$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\cdot12}{6\cdot12}=\dfrac{12}{72}$$$
De tal forma que obtenemos dos fracciones equivalentes a las primeras pero con el mismo denominador, así que ya las podemos sumar: $$$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{18}{72}+\dfrac{12}{72}=\dfrac{18+12}{72}=\dfrac{30}{72}$$$ Ahora debemos simplificar la fracción obtenida: $$$\left.\begin{array}{l} 30=2\cdot3\cdot5 \\ 72=2^3\cdot 3^2 \end{array} \right\} \Rightarrow m.c.d(30,72)=2\cdot3=6$$$
Así que $$$\dfrac{30}{72}=\dfrac{30:6}{72:6}=\dfrac{5}{12}$$$
Es decir, en total hemos obtenido que: $$$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{12}$$$
Este procedimiento se puede resumir en la fórmula: $$$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{(a\times d)\pm(b\times c)}{b\times d}$$$
En el ejemplo que teníamos, $$$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{(3\times 6)+(12\times 1)}{12\times 6}=\dfrac{18\times 12}{72}=\dfrac{30}{72}$$$
Y a continuación hay que simplificar la fracción.
Sin embargo, con este método obtenemos fracciones formadas por números muy altos ($$30$$ o $$72$$) que a continuación debemos simplificar.
Existe otra manera de lograr hacer la suma o la resta de manera que el resultado sea una fracción más sencilla, y nos ahorremos trabajo a la hora de simplificar.
Para ello, se han de transformar las fracciones que se pretenden sumar o restar, de manera que tengan el mismo denominador, pero que este sea el menor posible.
Esto se consigue calculando el mínimo común múltiplo ($$m.c.m$$) de todos los denominadores y colocando este número como denominador común.
En el caso que nos ocupa, calcularemos el $$m.c.m.$$ de $$12$$ y de $$6$$: $$$\left.\begin{array}{l} 6=2\cdot3 \\ 12=2^2\cdot 3 \end{array} \right\} \Rightarrow m.c.m(6,12)=2^2\cdot3=12$$$ por lo tanto, debemos buscar dos fracciones equivalentes a las dadas cuyos denominadores sean $$12$$. En el caso de $$\dfrac{3}{12}$$, la respuesta es obviamente ella misma, pero vamos a ver una metodología para encontrar esta fracción.
Una vez tenemos localizado cual será el denominador común, calculamos por cada fracción el valor $$m$$ por el que la multiplicaremos con el fin de encontrar su fracción equivalente. Este valor se encuentra según la fórmula:
$$$m=\dfrac{\mbox{mcm entre denominadores}}{\mbox{denominador de la fracción}}$$$
De forma que para cada fracción encontramos un valor de $$m$$ distinto.
En la fracción $$\dfrac{1}{6}$$, el valor de $$m$$ es: $$$m=\dfrac{mcm(6,12)}{6}=\dfrac{12}{6}=2$$$ mientras que para la fracción $$\dfrac{3}{12}$$ tenemos: $$$m=\dfrac{mcm(6,12)}{12}=\dfrac{12}{12}=1$$$ De forma que ya solamente nos falta multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por el valor de $$m$$ encontrado y sumar los numeradores correspondientes. A continuación simplificaremos la fracción, si se puede.
Para las fracciones del ejemplo, tenemos: $$$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\cdot 2}{6\cdot 2}=\dfrac{2}{12}$$$ y $$$\dfrac{3}{12}=\dfrac{3\cdot 1}{12\cdot 1}=\dfrac{3}{12}$$$ Así que la suma es: $$$\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{2+3}{12}=\dfrac{5}{12}$$$ Y este resultado ya esta simplificado al máximo.
Resumiendo, para sumar o restar dos o más fracciones con diferentes denominadores, debemos:
- Simplificar si se puede las fracciones dadas.
- Calcular el mínimo común múltiple de los denominadores.
-
Calcular para cada fracción el valor $$m$$ por el que la debemos multiplicar: $$$m=\dfrac{\mbox{mcm entre denominadores}}{\mbox{denominador de la fracción}}$$$
- Calcular las fracciones equivalentes a cada, multiplicando numerador y denominador por $$m$$.
- Sumar o restar las fracciones con mismo denominador.
- Simplificar si se puede.