Consideramos la cuádrica $$4x^2+9y^2+16z^2+12xy+16xz+24yz+2x+4y+6z+1=0$$. Clasificadla.
Desarrollo:
La matriz asociada a la ecuación de la cuádrica es: $$$\overline{A} = \begin{bmatrix} 4 & 6 & 8 & 1 \\ 6 & 9 & 12 & 2 \\ 8 & 12 & 16 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$$$ Vamos a calcular, ahora, sus invariantes euclídeos. $$$det(x \cdot I-\overline{A})=x^4-30x^3+15x^2+6x$$$ $$$det(x \cdot I - A)=x^3-29x^2$$$ Por lo tanto, tenemos que: $$$\left \{ \begin{array}{l} D_4=0 \\ D_3=-6 \\ D_2=15 \\ D_1=30\end{array} \right.$$$ $$$\left\{ \begin{array}{l} d_3=0 \\ d_2=0 \\ d_1=29 \end{array} \right.$$$
El índice de la cuádrica es $$0$$ gracias a que no se cumple $$d_1\cdot d_3 < 0$$ ni $$d_2 < 0$$.
Solución:
Como $$D_4=0, d_3=0, d_2=0, D_3=-6$$, por el algoritmo de clasificación tenemos que se trata de un cilindro parabólico.