Construir una ecuación de segundo grado con discriminante nulo y una de cuyas soluciones sea $$-6$$.
Si $$D = 0$$ quiere decir que la ecuación tiene una raíz doble y si ésta ha de ser $$-6$$ tendremos que $$$(x-6)\cdot(x-6)=x^2-12x+36$$$
$$x^2-12x+36$$
Construir un ecuación de segundo grado que tenga por soluciones $$x_1=\dfrac{1}{3}$$, $$x_2=-\dfrac{2}{5}$$.
Haciendo el producto correspondiente
$$$(x-\dfrac{1}{3})\cdot(x+\dfrac{2}{5})=x^2+\dfrac{1}{15}x-\dfrac{2}{15}$$$ Podemos quitar denominadores multiplicando por $$15$$, con lo que llegamos a la ecuación $$15x^2+x-2=0$$.
$$15x^2+x-2=0$$
El patio de un colegio mide $$600$$ metros cuadrados. Para vallarlo han sido necesarios $$100$$ metros de valla. ¿Cuales son las dimensiones del patio?
Llamemos $$a$$ y $$b$$ a los lados del rectángulo. Sabemos que $$a\cdot b = 600$$ y $$2a + 2b = 100$$, o lo que es lo mismo $$a + b = 50$$.
Aplicando la fórmula $$x^2-sx+p=0$$ tendremos que la ecuación de segundo grado correspondiente es: $$x^2-50x+600=0$$. $$$\displaystyle x=\frac{50 \pm \sqrt{50^2-4\cdot600}}{2}= \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2}=\frac{50 \pm 10}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=30 \\ x_2=20\end{matrix}\right.$$$ Con lo que el patio tendrá $$30$$ metros de largo por $$20$$ de ancho.
$$a = 30$$m y $$b = 20$$m
La suma de dos números vale $$9$$ y su producto $$20$$. Calcula el valor de dichos números.
Aplicamos la fórmula $$x^2-sx+p=0$$, sabiendo que en este caso $$s = 9$$ y $$p = 20$$.
$$$x^2-9x+20=0$$$ $$$\displaystyle x=\frac{9 \pm \sqrt{81-80}}{2}= \frac{9 \pm 1}{2}=\left \{\begin{matrix} x_1=5 \\ x_2=4\end{matrix}\right.$$$ Con lo que los números pedidos serán $$5$$ y $$4$$.
$$5$$ y $$4$$