A partir de la definición de elipse llegaremos a su expresión analítica. Se tiene que es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Supondremos que en este caso los focos $$F$$ y $$F'$$ están sobre el eje $$OX$$, de forma que vienen definidos por $$F'=(-c,0)$$ y $$F=(c,0)$$ y por lo tanto la elipse está centrada en el origen.
Así, por la definición de elipse escribiremos que cualquier punto $$P$$ de la elipse cumple: $$$\displaystyle \overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$$ donde $$a$$ corresponde a una constante que podemos determinar como $$a^2=b^2+c^2$$.
Veámoslo en el siguiente dibujo:
Desarrollemos ahora $$$\displaystyle \overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$$ que equivale a la expresión: $$$\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$$ Así pues primero pasamos la segunda raíz al otro lado de la igualdad: $$$\displaystyle \sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$$
Elevamos ambos lados al cuadrado: $$$ \Big( \sqrt{(x-c)^2+y^2} \Big)^2=\Big( 2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2} \Big)^2$$$ $$$ (x-c)^2+y^2=4a^2-2 \cdot 2a \cdot \sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2$$$ $$$x^2-2\cdot x \cdot c+c^2+y^2=4a^2-2 \cdot 2a\cdot \sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2xc+c^2+y^2$$$
Ahora aislamos en un lado de la ecuación la raíz que nos queda, tenemos: $$$4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2 +4xc$$$ $$$\displaystyle a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\frac{4a^2+4xc}{4}=a^2+cx$$$
Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad: $$$\Big(a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\Big)^2=(a^2+cx)^2 $$$ $$$ a^2((x+c)^2+y^2)= a^4+2a^2cx+c^2x^2$$$ $$$a^2(x^2+2cx+c^2+y^2)=a^4+2a^2cx+c^2x^2 $$$ $$$ a^2x^2+2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2=a^4+2a^2cx+c^2x^2$$$
Recordando que existe la relación $$a^2=b^2+c^2$$, tenemos: $$$(a^2-c^2)x^2+a^2c^2+a^2y^2=a^4$$$ $$$b^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2=a^2(a^2-c^2)=a^2b^2 $$$
Ahora dividimos ambos lados de la expresión por el factor $$a^2b^2$$ y resulta: $$$\displaystyle \frac{b^2x^2+a^2y^2}{a^2b^2}=\frac{a^2b^2}{a^2b^2} $$$ $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$$ Esta última expresión es la ecuación de la elipse que queríamos encontrar.
Tenemos la expresión $$$\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$$$ Esto corresponde a una elipse centrada en el origen de la cual calculamos los semiejes de la siguiente forma: $$$a^2=25 \Rightarrow a=\sqrt{25}=5$$$ $$$b^2=4 \Rightarrow b=\sqrt{4}=2$$$
¿Cuanto valen los semiejes de la elipse $$\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{8}=1$$?
Igualando los denominadores a los cuadrados de dichas longitudes obtenemos: $$$a=\sqrt{3} \\ b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$$
Ahora vamos a trabajar un poco con esta ecuación.
Vamos a hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: $$F' (-3,0)$$ y $$F (3, 0)$$, y tal que su eje mayor mide $$10$$.
Dado que el eje mayor mide $$10$$ sabemos que el semieje mayor será la mitad.
Así obtenemos: $$2a=10 \Rightarrow a=5$$.
Dado que sabemos que los focos son los puntos $$F' (-3,0)$$ y $$F (3, 0)$$, la distancia entre ellos es $$6$$.
Por lo tanto: $$2c=6 \Rightarrow c=3$$.
Dado que conocemos la relación $$a^2=b^2+c^2$$, aislando la $$b$$ de dicha ecuación obtenemos: $$$b^2=5^2-3^2=25-9=16 \Rightarrow b=4$$$
Ahora pues, dado que ya conocemos los semiejes mayor y menor, cogemos la ecuación de la elipse y le sustituimos los valores, obteniendo así la ecuación de ésta elipse. $$$\displaystyle \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$$$ Por último, podemos calcular la excentricidad que es $$$\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$$$