Este caso se diferencia únicamente de la Ecuación III de la elipse en que el eje mayor es paralelo al eje $$OY$$. La ecuación sólo queda modificada en que $$x$$ e $$y$$ se intercambian los papeles, por lo tanto, tendrán los coeficientes del denominador cambiados.
Veamos la demostración:
El eje focal es ahora paralelo al eje de las ordenadas, y por lo tanto los focos están en los puntos $$F'(x_0,y_0-c)$$ y $$F(x_0,y_0+c)$$.
Aplicando ahora la definición general obtenemos $$$\displaystyle \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2}+\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}=2a$$$
Tal y como se hizo para la elipse horizontal, se suma la raíz, y elevamos los dos lados de la ecuación al cuadrado: $$$\displaystyle \Big(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2}\Big)^2=\Big(2a-\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}\Big)^2$$$ $$$(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}+(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2$$$ $$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+2(y-y_0)c+c^2= 4a^2-4a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}+$$$ $$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-2(y-y_0)c+c^2$$$
Al simplificar y dividiendo por cuatro en los dos lados obtenemos: $$$4(y-y_0)c=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}$$$ $$$(y-y_0)c=a^2-a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}$$$
Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado: $$$(c(y-y_0)-a^2)^2= \Big(-a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}\Big)^2$$$ $$$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4= a^2((x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2)$$$ $$$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4=a^2((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-2c(y-y_0)+c^2)$$$ $$$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4=a^2(x-x_0)^2+a^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^2c^2$$$ $$$c^2(y-y_0)^2-a^2(y-y_0)^2-a^2(x-x_0)^2= a^2 c^2-a^4$$$ $$$(c^2-a^2)(y-y_0)^2-a^2(x-x_0)^2=a^2(c^2-a^2)$$$
Dividir entonces entre $$a^2(c^2-a^2)$$ para obtener un 1 a la derecha: $$$\displaystyle \frac{(c^2-a^2)(y-y_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2(x-x_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}=1$$$ $$$\frac{(y-y_0)^2}{a^2}-\frac{(x-x_0)^2}{(c^2-a^2)}=1 $$$
Al aplicar la definición $$a^2= b^2+c^2$$, $$-b^2=c^2-a^2$$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada para la elipse vertical: $$$\displaystyle \frac{(y-y_0)^2}{a^2}- \frac{(x-x_0)^2}{-b^2}= 1 \Longrightarrow \frac{(y-y_0)^2}{a^2}+\frac{(x-x_0)^2}{b^2}=1 $$$.
Determinar la ecuación de una elipse con centro en el punto $$(1,-1)$$ y con un foco en el punto $$(1,2)$$. Además se sabe que pasa por el punto $$(1,4)$$.
Primero debemos pensar en qué eje están los focos de la elipse. Como el centro es $$(1,-1)$$ y un foco está en el $$(1,2)$$, nos damos cuenta que la primera componente se mantiene en el 1, es decir la recta que une el centro con tal foco es la recta $$x=1$$.
Así pues ya sabemos que los focos están sobre una recta paralela al eje de ordenadas $$OY$$. Si la elipse pasa por el punto $$(1,4)$$, la distancia de tal punto (que también es de la recta $$x=1$$ y por lo tanto del eje mayor) al centro es la diferencia de sus componentes $$y$$.
Es decir: $$a=4-(-1)=5$$.
De la misma manera se razona que el valor de $$c$$ que es la distancia del foco al centro es la resta de sus segundas componentes, es decir: $$c=2-(-1)=3$$.
Como ya tenemos los valores de $$a$$ y $$c$$, mediante la relación $$a^2=b^2+c^2$$, obtenemos: $$b=\sqrt{25-9}=4$$.
Sustituyendo en la ecuación: $$$\displaystyle \frac{(y-y_0)^2}{a^2}+\frac{(x-x_0)^2}{b^2}=1 \Longrightarrow \frac{(y+1)^2}{5^2}+\frac{(x-1)^2}{4^2}=1$$$