Ejercicios de Ecuación de la elipse con focos sobre el eje OX

Desarrollo:

Dado que los focos están en el eje $$OX$$ debemos emplear la Ecuación I de la elipse $$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$$

Nos falta pues, determinar el valor de los semiejes $$a$$ y $$b$$, que son el semieje mayor y el semieje menor respectivamente.

El enunciado nos dice que la elipse pasa por el punto $$(3,0)$$ por lo que nos está determinando cual es el momento en que la elipse corta con el eje de las $$x$$ ya que el valor de la $$y$$ en ese punto es nulo.

Así pues, en realidad nos está diciendo qué distancia hay del centro de la elipse al punto de corte entre ésta y el eje $$OX$$, lo que hemos definido como semieje mayor.

Por lo tanto, el valor del semieje mayor es $$3$$. Es decir, $$a=3$$.

Como también sabemos la distancia $$c$$ del centro al foco (que es $$2$$), mediante la relación $$a^2=b^2+c^2$$ aislamos $$b$$ y encontramos que: $$$b=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$$$ Una vez conocemos todos los parámetros de la elipse, escribimos su ecuación: $$$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{(\sqrt{5})^2}=1$$$ $$$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$$$

Si queremos además calcular su excentricidad solo falta dividir $$c$$ entre $$a$$. Esto es: $$$e=\dfrac{2}{3}$$$

Solución:

$$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$$, $$e=\dfrac{2}{3}$$

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Desarrollo:

Si el eje menor mide $$4$$, se tiene que la distancia $$b$$ que es el semieje es $$2b=4 \Rightarrow b=\dfrac{4}{2}=2$$. Sustituyendo en la ecuación de la elipse $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$ la $$b$$ por el $$2$$ se obtiene que $$a$$ es: $$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1 \text{ y pasa por el punto } (x,y)=(2,1)\Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow \dfrac{2^2}{a^2}+\dfrac{1^2}{2^2}=1 \Rightarrow \dfrac{4}{a^2}+\dfrac{1}{4}=1 \Rightarrow a=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$$$ Así se tiene que la ecuación queda: $$$\dfrac{x^2}{\Big(\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Big)^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1 \Rightarrow \dfrac{3x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$$$

Solución:

$$\dfrac{3x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$$

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