Producto Vectorial

Dados dos vectores en dimensión 3, es decir, con tres componentes, podemos definir una nueva operación: el producto vectorial. El producto vectorial entre dos vectores \vec{a} y \vec{b} es otro vector \vec{c} .

Definimos el producto vectorial por: \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b} . También se puede encontrar el producto vectorial utilizando el símbolo \land . De manera que \vec{c}=\vec{a}\land\vec{b} .

Características del vector resultante \vec{c} al producto vectorial de dos vectores \vec{a} y \vec{b} :

  • La dirección es perpendicular al plano formado por los dos vectores \vec{a} y \vec{b} .
  • El sentido del vector \vec{c} viene dado aplicando la "regla del sacacorchos" o "regla de la mano derecha".

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Es el sentido para el cual se movería un sacacorchos cuando se hace girar. Si giramos un sacacorchos o un tornillo "hacia la derecha" (en el sentido de la agujas de un reloj) el sacacorchos o el tornillo "avanza". También se puede utilizar el sacacorchos o un tornillo en el otro sentido: cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo "hacia la izquierda" (contrario a las agujas del reloj), el sacacorchos o el tornillo "retrocede".

Cómo determinar el vector resultante \vec{c} del producto vectorial de \vec{a} y \vec{b} en coordenadas:

Si \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) y \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) . El producto vectorial entre \vec{a} y \vec{b} es el vector \vec{c} . Para ello calculamos el determinante siguiente:

\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \vec{k}

Donde \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} es la base canónica de \mathbb{R}^3 . Es decir, \vec{i}=(1,0,0) , \vec{j}=(0,1,0) , \vec{k}=(0,0,1) , forman una base ortonormal.

Si \vec{a}=(2,0,-1) , \vec{b}=(1,1,-2) . Calculemos \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b} :

\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{k} = (1,3,2)

Otra manera de determinar el producto vectorial de \vec{a} y \vec{b} :

\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}|\sin(\widehat{ab})\cdot\hat{n}

donde \hat{n} es un vector unitario en la dirección y sentido correspondiente. Dirección perpendicular al plano formado por \vec{a} y \vec{b} y sentido dado por la regla del sacacorchos.

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Propiedades del producto vectorial:

  1. \vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}

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  1. Si \vec{a} y \vec{b} estan en la misma recta, es decir, si son vectores ligados y están en la misma recta; entonces el producto escalar es cero.

Si \vec{a}=(1,0,0) y \vec{b}=(-2,0,0) entonces:

\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} + (-1)\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{k} = (0,0,0)=\vec{0}