Exercicis de Suma de termes d'una progressió aritmètica

Desenvolupament:

Volem trobar un natural $$m$$ tal que la suma dels $$m$$ primers termes de la successió $$a_n=5n+2$$ ens doni exactament $$6.475$$, és a dir, que $$S_m=\sum_{n=1}^m 5n+2 = 6.475$$, però sabem que:

$$$S_m=\dfrac{m\cdot(a_1+a_m)}{2}=\dfrac{m\cdot ((5+2)+(5m+2))}{2}$$$

I igualant les dues expressions, ens queda que:

$$$6.475=\dfrac{m(7+5m+2)}{2}$$$

Així que només ens queda resoldre aquesta equació de segon grau:

$$$5m^2+9m-12.850=0 \Rightarrow m=\left\{ \begin{array}{c} 50 \\ -\dfrac{259}{5} \end{array} \right.$$$

Sabem que $$m$$ ha de ser un enter positiu, i per tant ens quedem amb la solució $$m=50.$$

Solució:

Cal sumar els $$50$$ primers termes.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Volem trobar un nombre real $$a_1$$ tal que sigui el primer terme d'una progressió aritmètica de diferència $$d=-\dfrac{1}{2}$$ i tal que la suma dels $$30$$ primers termes és igual a $$13$$.

És a dir, tenim la progressió $$$a_n=a_1+(n-1)\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)=a_1+\dfrac{1-n}{2}$$$ i la suma dels primers $$30$$ termes és igual a $$13$$ $$$S_30=\sum_{n=1}^30 \Big(a_1+\dfrac{1-n}{2}\Big) = 13$$$ i d'altra banda tenim que $$$S_30=\dfrac{30(a_1+a_30)}{2}=15\Big(a_1+\Big(a_1+\dfrac{1-30}{2}\Big)\Big)$$$ ajuntant aquestes dues expressions, obtenim: $$$15\Big(2a_1-\dfrac{29}{2}\Big)=13$$$

I en resoldre aquesta equació ens dóna: $$$a_1=\dfrac{461}{60}$$$

Solució:

$$a_1=\dfrac{461}{60}$$

Amagar desenvolupament i solució