Sistemes d'inequacions d'una variable

Exercicis

Resol el següent sistema d'inequacions d'una variable:

$$$ \left\{ \begin{array}{l} x(x-2) < 0 \\ x^2+x > -(1+x) \end{array}\right. $$$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Resoldrem les dues inequacions independentment i intersequem les regions solució: $$$ x(x-2) < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0 \\ x-2 > 0 \end{array}\right. \ \text{ o bé } \ \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ x-2 < 0 \end{array}\right.$$$ per la qual cosa hem de prendre la segona opció ja que la primera no té solució, així: $$0 < x < 2$$.

D'altra banda: $$$ x^2+x > -(1+x) \Rightarrow x^2+2x+1 > 0$$$

Resolem l'equació de segon grau $$$ x^2+ 2x +1=0 \Rightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-4}}{2}=-1$$$

Per tant, tenim: $$$ x^2+ 2x +1=(x+1)^2=(x+1)(x+1) > 0 \Rightarrow x+1 > 0 \ \ \text{ o bé } \ \ x+1 > 0$$$

del que deduïm que les solucions seran: $$x+1 > 0$$ i $$x+1 > 0$$

Ara intersecant la regió de les dues solucions, obtenim la regió: $$$ 0 < x < 2$$$

Solució:

$$ 0 < x < 2$$

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria