Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de una variable:
$$$ \left\{ \begin{array}{l} x(x-2) < 0 \\ x^2+x > -(1+x) \end{array}\right. $$$
Desarrollo:
Resolveremos las dos inecuaciones independientemente y intersecaremos las regiones solución: $$$ x(x-2) < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0 \\ x-2 > 0 \end{array}\right. \ \text{ o bé } \ \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ x-2 < 0 \end{array}\right.$$$ por lo que debemos tomar la segunda opción ya que la primera no tiene solución, entonces: $$0 < x < 2$$.
Por otra parte: $$$ x^2+x > -(1+x) \Rightarrow x^2+2x+1 > 0$$$
Resolvemos la ecuación de segundo grado $$$ x^2+ 2x +1=0 \Rightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-4}}{2}=-1$$$
Por consiguiente tenemos: $$$ x^2+ 2x +1=(x+1)^2=(x+1)(x+1) > 0 \Rightarrow x+1 > 0 \ \ \text{ o bé } \ \ x+1 > 0$$$
de lo que deducimos que las soluciones serán: $$x+1 > 0$$ y $$x+1 > 0$$
Ahora intersecamos la región de las dos soluciones y obtenemos la región: $$$ 0 < x < 2$$$
Solución:
$$ 0 < x < 2$$