Regla de Laplace

Exercicis

Tirem dos daus de sis cares. Sumant els dos resultats, volem saber la probabilitat de:

a) $$A =$$ "obtenir un total de més de $$8$$"

b) $$B =$$ "un total menor o igual que $$3$$"

c) $$C =$$ "un total de més de $$8$$, o menys o igual que $$3$$"

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Primer hem de descriure el nostre espai mostral. A cada dau pot sortir un número entre $$1$$ i $$6$$, de manera que tots els resultats possibles són $$$\Omega=\lbrace 1-1,1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,2-1,2-2,\ldots \rbrace$$$

Notem que hi ha $$36$$ elements: el podem veure pensant que en el primer donat pot sortir un número entre $$1$$ i $$6$$, i en el segon el mateix, pel que en total hi ha $$6\cdot6=36$$ maneres possibles.

Tots els casos són equiprobables, i per tant la probabilitat de cada succés elemental és de $$\dfrac{1}{36}$$, per la regla de Laplace.

a) Volem veure quins són els resultats favorables a $$A =$$ "treure més d'un $$8$$". Els resultats que el compleixen són tots els que sumen $$9$$, els que sumen $$10$$, els que sumen $$11$$, i els que sumen $$12$$. No hi pot haver resultats més alts, ja que la tirada màxima és de sis en els dos daus, és a dir, $$6+6=12$$.

Així doncs, estem dient que $$A=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4$$, i hem de pensar quins successos compleixen el següent:

$$A_1=$$"sumar $$9$$"$$=\lbrace 3-6,4-5,5-4,6-3 \rbrace$$, és a dir, hi ha quatre casos favorables.

$$A_2=$$"sumar $$10$$"$$=\lbrace 4-6,5-5,6-4 \rbrace$$, tres casos favorables.

$$A_3=$$"sumar $$11$$"$$=\lbrace 5-6,6-5 \rbrace$$, dos casos favorables.

$$A_4=$$"sumar $$12$$"$$=\lbrace 6-6 \rbrace$$, un cas favorable.

Com que tots els successos són equiprobables, podem aplicar la regla de Laplace,

$$P(A_1)=\dfrac{4}{36}$$, $$P(A_2)=\dfrac{3}{36}$$, $$P(A_3)=\dfrac{2}{36}$$, $$P(A_4)=\dfrac{1}{36}$$.

Per tant $$$P(A)=P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4)=$$$ $$$=\dfrac{4}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{11}{36}$$$

b) Per calcular $$P(B)$$, tornem a fer com abans. Sigui

$$B_1=$$"sumar $$1$$", $$B_2=$$"sumar $$2$$", $$B_3=$$"sumar $$3$$".

Llavors, els casos possibles que compleixen cada un d'aquests successos són:

$$B_1=\emptyset$$, ja que és un succés impossible. La tirada més petita que podríem treure és un $$2$$, és a dir, un $$1$$ en els dos daus, $$1+1=2$$.

$$B_2=\lbrace 1-1 \rbrace$$

$$B_3=\lbrace 1-2,2-1 \rbrace$$

Per tant $$$P(B)=P(B_1 \cup B_2 \cup B_3)=$$$ $$$=0+\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}.$$$

Com $$B_1$$ és un succés impossible, no té cap resultat favorable, i per tant, per la regla de Laplace, la seva probabilitat és $$P(B_1)=\dfrac{0}{36}=0$$.

c) En aquest cas, podem veure quins són tots els esdeveniments que compleixen $$C$$, però és un mètode llarg. Podem resoldre més fàcilment si observem que $$C=A \cup B$$.

Podem calcular $$$P(C)=P(A \cup B)=P(A)+P(B)=\dfrac{11}{36}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}.$$$

Solució:

a) $$P(A)=\dfrac{11}{36}$$

b) $$P(B)=\dfrac{1}{12}$$

c) $$P(C)=\dfrac{7}{18}$$

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria