Digues si les següents equacions tenen alguna solució utilitzant la propietat de Darboux.
a) $$x^2=1$$
b) $$e^x=\ln x+3$$
c) $$x^4+2x=0$$
Desenvolupament:
a) Definim la funció $$f(x)=x^2$$.
Prenent l'interval $$[0,2]$$ es compleix que $$1$$ pertany a l'interval imatge $$f([0,2])=[0,4]$$, pel que existeix un punt $$c$$ on $$f (c) = 1$$ i per tant resol la nostra equació. (En el nostre cas $$c=1$$).
b) Definim la funció $$f(x)=e^x-\ln x$$.
Prenent l'interval $$[1,2]$$ es compleix que $$3$$ pertany a l'interval imatge $$f([1,2])=[2.7182\ldots,6.69\ldots]$$ per la qual cosa hi ha un punt $$c$$ on $$f (c) = 3$$ i d'aquesta manera sabem amb certesa que hi ha algun valor solució de la nostra equació.
c) Definim la funció $$f(x)=x^4+2x$$ i repetim el procés:
Prenent l'interval $$[-1,1]$$ es compleix que $$0$$ pertany a l'interval imatge $$f([-1,1])=[-1,3]$$, de manera que en l'interval $$[-1,1]$$ hi ha un punt que és solució de la nostra equació.
Solució:
a) Té almenys una solució en l'interval $$[0,2]$$.
b) Té almenys una solució en l'interval $$[1,2]$$.
c) Té almenys una solució en l'interval $$[-1,1]$$.