Decir si las siguientes ecuaciones tienen alguna solución usando la propiedad Darboux.
a) $$x^2=1$$
b) $$e^x=\ln x+3$$
c) $$x^4+2x=0$$
Desarrollo:
a) Definimos la función $$f(x)=x^2$$.
Tomando el intervalo $$[0,2]$$ se cumple que $$1$$ pertenece al intervalo imagen $$f([0,2])=[0,4]$$, por lo que existe un punto $$c$$ donde $$f (c) = 1$$ y por lo tanto resuelve nuestra ecuación. (en nuestro caso $$c=1$$).
b) Definimos la función $$f(x)=e^x-\ln x$$.
Tomando el intervalo $$[1,2]$$ se cumple que $$3$$ pertenece al intervalo imagen $$f([1,2])=[2.7182\ldots,6.69\ldots]$$ por lo que existe un punto $$c$$ donde $$f (c) = 3$$ y de esta manera sabemos con certeza que existe algún valor solución de nuestra ecuación.
c) Definimos la función $$f(x)=x^4+2x$$ y repetimos el proceso:
Tomando el intervalo $$[-1,1]$$ se cumple que $$0$$ pertenece al intervalo imagen $$f([-1,1])=[-1,3]$$, por lo que en el intervalo $$[-1,1]$$ existe un punto que es solución de nuestra ecuación.
Solución:
a) Tiene al menos una solución en el intervalo $$[0,2]$$.
b) Tiene al menos una solución en el intervalo $$[1,2]$$.
c) Tiene al menos una solución en el intervalo $$[-1,1]$$.