Donades la rectes $$r: 3x - y + 2 = 0$$ i $$s: y=-x+4$$, trobeu una recta paral·lela a $$r$$ que passi pel punt $$P = (1, 1)$$.
Determineu la posició relativa entre $$r$$ i $$s$$, i busqueu el punt de tall entre $$s$$ i la paral·lela a $$r$$.
Desenvolupament:
D'entrada recordar que dues rectes són paral·leles si i només si ho són els seus vectors directors.
Un vector director de la recta $$r$$ és $$\overrightarrow{v}=(1, 3)$$. Per tant si utilitzem l'equació vectorial la recta que passa per $$P=(1,1)$$ i és paral·lela a $$r$$ és: $$$(x, y) = (1, 1) + k \cdot (1, 3)$$$ Si busquem ara la posició relativa entre $$r$$ i $$s$$:
$$r: 3x-y+2=0 \rightarrow r: y = 3x + 2$$ (equació explícita)
$$s: y = -x + 4$$
Per tant tenim els pendents de $$r$$ i $$s$$, $$$m_r=3, \ m_s=-1$$$ Observem que són diferents i per tant les rectes no són paral·leles ni coincidents, i evidentment han de ser secants.
Finalment, el punt d'intersecció el podem calcular fàcilment resolent el sistema:
$$\left\{\begin{array}{c} y=-x+4 \\ x=1+k \\ y=1+3k \end{array}\right.$$
equivalent a:
$$\left\{\begin{array}{c} y=-x+4 \\ x-1=\dfrac{y-1}{3} \end{array}\right.$$
i la solució és:
$$3x - 3 =-x + 4 - 1 \rightarrow 4x = 6 \rightarrow x = 3/2$$
$$y = 5/2$$
Solució:
L'equació de la recta paral·lela és: $$$(x, y) = (1, 1) + k \cdot (1, 3)$$$
Les rectes $$r$$ i $$s$$ són secants.
La recta $$s$$ i la paral·lela a $$r$$ es tallen en el punt $$P = (3/2, 5/2)$$.