Dadas la rectas $$r: 3x - y + 2 = 0$$ y $$s: y=-x+4$$, encontrad una recta paralela a $$r$$ que pase por el punto $$P = (1, 1)$$.
Determinad la posición relativa entre $$r$$ y $$s$$, y buscar el punto de corte entre $$s$$ y la paralela a $$r$$.
Desarrollo:
De entrada recordamos que dos rectas son paralelas si y solo si lo son sus vectores directores.
Un vector director de la recta $$r$$ es $$\overrightarrow{v}=(1, 3)$$. Por tanto si utilizamos la ecuación vectorial la recta que pasa por $$P=(1,1)$$ y es paralela a $$r$$ es: $$$(x, y) = (1, 1) + k \cdot (1, 3)$$$ Si buscamos ahora la posición relativa entre $$r$$ y $$s$$:
$$r: 3x-y+2=0 \rightarrow r: y = 3x + 2$$ (ecuación explícita)
$$s: y = -x + 4$$
Por tanto tenemos los pendientes de $$r$$ y $$s$$, $$$m_r=3, \ m_s=-1$$$ Observamos que son distintos y por lo tanto las rectas no son paralelas ni coincidentes, y evidentemente han de ser secantes.
Por último, el punto de intersección lo podemos calcular fácilmente resolviendo el sistema:
$$\left\{\begin{array}{c} y=-x+4 \\ x=1+k \\ y=1+3k \end{array}\right.$$
equivalente a:
$$\left\{\begin{array}{c} y=-x+4 \\ x-1=\dfrac{y-1}{3} \end{array}\right.$$
y cuya solución es:
$$3x - 3 =-x + 4 - 1 \rightarrow 4x = 6 \rightarrow x = 3/2$$
$$y = 5/2$$
Solución:
La ecuación de la recta paralela es: $$$(x, y) = (1, 1) + k \cdot (1, 3)$$$
Las rectas $$r$$ y $$s$$ son secantes.
La recta $$s$$ y la paralela a $$r$$ se cortan en el punto $$P = (3/2, 5/2)$$.