Exercicis de Operacions amb complexos en forma binòmica

Resol les següents operacions:

  1. $$(3-6i)\cdot(1+2i)=$$
  2. $$(2+i)\cdot(2+3i)\cdot(4-6i)=$$
Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

  1. Amb la fórmula del producte de nombres complexos en forma binòmica es té: $$$ \displaystyle \begin{array}{rl} (3-6i)\cdot(1+2i) &= (3\cdot 1+6\cdot2) +(3\cdot2-6\cdot1)i= (3+12)+(6-6)i \\ & =15+0i= 15 \end{array} $$$

  2. Primer farem el producte dels dos primers números complexos i després amb el resultat farem el producte amb el tercer.

    $$(2+i)\cdot(2+3i)= (2\cdot2-3\cdot1)+(2\cdot3+1\cdot2)i=1+8i$$

    $$ \displaystyle \begin{array}{rl} (1+8i)\cdot(4-6i)=&(1\cdot4-8\cdot(-6))+(8\cdot4+1\cdot(-6))\cdot i =\\ =&4+48+(32-6)\cdot i=52+26i \end{array}$$

Solució:

  1. $$15$$
  2. $$52+26i$$
Amagar desenvolupament i solució

Calculem:

  1. $$(3+2i)+(8-2i)$$
  2. $$(3+2i)-(8-2i)$$
Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

  1. $$(3+2i)+(8-2i)=(3+8)+(2+(-2))i=11+0i=11$$

    Hem sumat les parts reals $$(3 +8)$$ i hem sumat les parts imaginàries $$(2 + (-2))$$ que ens dóna zero i per tant la solució és un nombre imaginari amb part imaginària nul·la, o sigui un real.

  2. $$(3+2i)-(8-2i)=(3-8)+(2-(-2))i=-5+(2+2)i=-5+4i$$

    Hem restat les parts reals $$(3-8)$$ i hem restat les parts imaginàries $$(2 - (-2))$$ que ens dóna $$4$$ i per tant la solució és la part real més la part imaginària.

Solució:

  1. $$11$$
  2. $$-5+4i$$
Amagar desenvolupament i solució
  1. Escriu el conjugat i l'oposat dels següents nombres complexos: $$1-4i$$, $$-9-5i$$.
  2. Calcula $$(-11+29i):(2+3i)=$$
Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

  1. $$$ \displaystyle z=1-4i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \bar{z}=1-(-4)i=1+4i \\ -z=-(1-4i)=-1+4i \end{array} \right. $$$

    El primer correspon al conjugat i el segon al oposat. $$$ \displaystyle z=-9-5i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \bar{z}=-9-(-5)i=-9+5i \\ -z=-(-9-5i)=9+5i \end{array} \right. $$$

    El mateix que en l'anterior, el primer és el conjugat i el segon l'oposat.

  2. Ara, multiplicant pel conjugat de $$2 + 3i$$ que és $$2-3i$$ tenim: $$$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{-11+29i}{2+3i}\cdot \dfrac{2-3i}{2-3i}$$$ Realitzem els productes de denominador i també del numerador: $$$\dfrac{-11+29i}{2+3i}\cdot \dfrac{2-3i}{2-3i}=\dfrac{(-11\cdot2-29\cdot3)+(-11\cdot3+29\cdot2)i}{2^2+3^2}$$$ Ajuntant termes i sumant ens queda: $$$ \dfrac{(-11\cdot2-29\cdot3)+(-11\cdot3+29\cdot2)i}{2^2+3^2}=\dfrac{65+91i}{4+9}$$$ Si separem la fracció en dos termes obtenim: $$$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{65}{13}+\dfrac{91}{13}i$$$ que simplificant queda: $$$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{65}{13}+\dfrac{91}{13}i=5+7i$$$

Solució:

  1. Per al primer:

    $$\bar{z}=1-(-4)i=1+4i$$

    $$-z=-(1-4i)=-1+4i$$

    Per al segon:

    $$\bar{z}=-9-(-5)i=-9+5i$$

    $$-z=-(-9-5i)=9+5i$$

  2. $$5+7i$$
Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria