Ejercicios de Operaciones con complejos en forma binómica

Calculemos:

  1. $$(3+2i)+(8-2i)$$
  2. $$(3+2i)-(8-2i)$$
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Desarrollo:

  1. $$(3+2i)+(8-2i)=(3+8)+(2+(-2))i=11+0i=11$$

    Hemos sumado las partes reales $$(3 +8)$$ y hemos sumado las partes imaginarias $$(2 + (-2))$$ que nos da cero y por lo tanto la solución es un número imaginario con parte imaginaria nula, o sea un real.

  2. $$(3+2i)-(8-2i)=(3-8)+(2-(-2))i=-5+(2+2)i=-5+4i$$

    Hemos restado las partes reales $$(3-8)$$ y hemos restado las partes imaginarias $$(2 - (-2))$$ que nos da $$4$$ y por lo tanto la solución es la parte real mas la parte imaginaria.

Solución:

  1. $$11$$
  2. $$-5+4i$$
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  1. Escribe el conjugado y el opuesto de los siguientes números complejos: $$1-4i$$, $$-9-5i$$.
  2. Calcula $$(-11+29i):(2+3i)=$$
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Desarrollo:

  1. $$$ \displaystyle z=1-4i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \bar{z}=1-(-4)i=1+4i \\ -z=-(1-4i)=-1+4i \end{array} \right. $$$

    El primero corresponde al conjugado y el segundo al opuesto. $$$ \displaystyle z=-9-5i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \bar{z}=-9-(-5)i=-9+5i \\ -z=-(-9-5i)=9+5i \end{array} \right. $$$

    Lo mismo que en el anterior, el primero es el conjugado y el segundo el opuesto.

  2. Ahora, multiplicando por el conjugado de $$2 + 3i$$ que es $$2-3i$$ tenemos: $$$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{-11+29i}{2+3i}\cdot \dfrac{2-3i}{2-3i}$$$ Realizamos los productos de denominador y también del numerador: $$$\dfrac{-11+29i}{2+3i}\cdot \dfrac{2-3i}{2-3i}=\dfrac{(-11\cdot2-29\cdot3)+(-11\cdot3+29\cdot2)i}{2^2+3^2}$$$ Juntando términos y sumando nos queda: $$$\dfrac{(-11\cdot2-29\cdot3)+(-11\cdot3+29\cdot2)i}{2^2+3^2}=\dfrac{65+91i}{4+9}$$$ Si separamos la fracción en dos términos obtenemos: $$$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{65}{13}+\dfrac{91}{13}i$$$ que simplificando queda: $$$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{65}{13}+\dfrac{91}{13}i=5+7i$$$

Solución:

  1. Para el primero:

    $$\bar{z}=1-(-4)i=1+4i$$

    $$-z=-(1-4i)=-1+4i$$

    Para el segundo:

    $$\bar{z}=-9-(-5)i=-9+5i$$

    $$-z=-(-9-5i)=9+5i$$

  2. $$5+7i$$
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Resuelve las siguientes operaciones:

  1. $$(3-6i)\cdot(1+2i)=$$
  2. $$(2+i)\cdot(2+3i)\cdot(4-6i)=$$
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Desarrollo:

  1. Con la fórmula del producto de números complejos en forma binómica se tiene: $$$ \displaystyle \begin{array}{rl} (3-6i)\cdot(1+2i) &= (3\cdot 1+6\cdot2) +(3\cdot2-6\cdot1)i= (3+12)+(6-6)i \\ & =15+0i= 15 \end{array} $$$
  2. Primero haremos el producto de los dos primeros números complejos y luego con el resultado haremos el producto con el tercero.

    $$(2+i)\cdot(2+3i)= (2\cdot2-3\cdot1)+(2\cdot3+1\cdot2)i=1+8i$$

    $$ \displaystyle \begin{array}{rl} (1+8i)\cdot(4-6i)=&(1\cdot4-8\cdot(-6))+(8\cdot4+1\cdot(-6))\cdot y =\\ =&4+48+(32-6)\cdot i=52+26i \end{array}$$

Solución:

  1. $$15$$
  2. $$52+26i$$
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