Un fabricant de bateries per a telèfons mòbils diu en les especificacions que la durada mitjana fins que es fan malbé és de $$25.000$$ hores de funcionament. Molts clients han acudit a les associacions de consumidors per queixar-se, i s'ha fet un estudi que diu que la durada de les bateries segueix una normal de mitjana $$20.000$$.
-
Tenint en compte que les duracions fora de l'interval $$[20000-3\sigma, 20000+3\sigma]$$ no es donen mai, definir un valor raonable de sigma.
-
Quina és la probabilitat que una bateria duri les $$25.000$$ que diu el fabricant o més? I que duri menys?
- Quina és la probabilitat que duri entre $$10.000$$ i $$15.000$$ hores?
Desenvolupament:
-
Es pot suposar que $$\sigma=6.000$$, de manera que les bateries mai durin menys de $$2.000$$ hores, ni més de $$38.000$$.
-
Serà necessari transformar la variable $$X$$ ($$N(20.000, 6.000)$$) a la variable $$Z$$ de normal ($$N(0,1)$$) per poder utilitzar les taules. $$$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \Rightarrow X=\sigma\cdot Z+\mu$$$ $$$P(X\geq25.000 \mbox{ hores } )=P(\sigma\cdot Z+\mu \geq 25.000)=P(Z\geq 0,833)$$$ Anant a les taules es pot veure que: $$$p(X < 25.000)=0,7967$$$ $$$p(X\geq25.000)=1-0,7967=0,2033$$$
- S'observa que: $$$p(10.000 \leq X \leq 15.000)=p(X\leq15.000)-p(X\leq10.000)=$$$ $$$=p(Z\leq\dfrac{15.000-20.000}{6.000})-p(Z\leq\dfrac{10.000-20.000}{6.000})=$$$ $$$=p(Z\leq-0,83)-p(Z\leq-1,67)$$$ Per simetria, es pot afirmar: $$$p(10.000\leq X \leq 15.000)=p(Z\leq1,67)-p(Z\leq0,83)=$$$ $$$=0,9525-0,7967=0,1558$$$
Solució:
- $$\sigma=6.000$$
- $$p(X < 25.000)=0,7967$$; $$p(X\geq25.000)=1-0,7967=0,2033$$
- $$p(10.000\leq X \leq 15.000)=0,1558$$