Introducció als intervals

Exercicis

Digueu quins dels següents conjunts són o no acotats:

a) $$A=\{x \ | \ x\leq3 \}$$

b) $$B=\{x \ | \ x \ \text{ és potència positiva de } 2 \}$$

c) $$C=\{x \ | \ x=2 \text{ o bé } x=5 \}$$

d) $$D=\{x \ | \ 0 < x < 1 \}$$

e) $$\mathbb{N}$$

A més, escriviu en forma d'intervals els conjunts que admeten aquesta notació.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Observem que $$A = (-\infty,3]$$ i per definició d'acotació, un conjunt es diu acotat si el valor absolut de tots els seus elements és menor o igual que un cert nombre. En aquest cas, com l'interval no té extrem superior, no pot ser un conjunt acotat.

b) El conjunt $$B =\{x \ | \ x=2^k, \ k\in\mathbb{N}\}$$ i com $$k$$ pot ser qualsevol nombre natural, el conjunt $$B$$ no és acotat.

c) $$C = \{2,5\}$$ i, per tant, prenent $$M = 5$$, veiem que $$C$$ és un conjunt acotat atès que $$2,5 \leq 5$$.

d) El conjunt $$D$$ es pot reescriure en forma d'interval, és a dir, $$D = (0,1)$$. A més, és un conjunt acotat perquè prenent $$M = 1$$, es compleix que $$x\leq1 \ \forall x\in C$$.

e) El conjunt dels nombres naturals és no acotat perquè no hi ha cap nombre positiu tal que tots els naturals siguin menors o iguals que aquest número.

Solució:

a) No acotat i es pot reescriure com $$A = (-\infty,3]$$.

b) No acotat.

c) Acotat.

d) Acotat i es pot reescriure com $$D = (0,1)$$.

e) No acotat.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria