Calcular la integral $$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx$$
Desenvolupament:
Identifiquem el tipus d'integral impròpia i l'escrivim en forma de límit.
$$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx$$ és una integral impròpia de segon tipus, ja que té una discontinuïtat en l'interval d'integració. En particular, la discontinuïtat es troba en un extrem de l'interval $$(x=0)$$.
$$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx = \lim_{a \to 0}{\int_a^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx}$$
Calculem la integral en funció del paràmetre que hem introduït.
$$\displaystyle\int_a^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx=[2\sqrt{x}]_a^1=(2-2\sqrt{a})$$
Calculem el límit i, per tant, el resultat de la integral.
$$\lim_{a \to 0}{(2-2\sqrt{a})}=2$$
Solució:
$$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx=2$$