Calcular la integral $$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx$$
Desarrollo:
Identificamos el tipo de integral impropia, y la escribimos en forma de límite.
$$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx$$ es una integral impropia de segunda especie, pues tiene una discontinuidad en el intervalo de integración. En particular, la discontinuidad se encuentra en un extremo del intervalo $$(x=0)$$.
$$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx = \lim_{a \to 0}{\int_a^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx}$$
Calculamos la integral en función de parámetro que hemos introducido.
$$\displaystyle\int_a^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx=[2\sqrt{x}]_a^1=(2-2\sqrt{a})$$
Calculamos el límite y, por lo tanto, el resultado de la integral.
$$\lim_{a \to 0}{(2-2\sqrt{a})}=2$$
Solución:
$$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt {x}} \ dx=2$$