La funció que assigna a la variable independent $$x$$ el valor de $$f(x)=a^x$$ s'anomena funció exponencial de base $$a$$, on $$a$$ és un nombre real positiu diferent d'$$1$$.
Així, per exemple, les funcions $$f(x)=3^x$$ i $$h(x)=0.8^x$$ són funcions exponencials de base $$3$$ i $$0,8$$ respectivament.
En particular, la funció exponencial de base $$e$$, $$f(x)=e^x$$, és especialment important ja que descriu el comportament de diverses situacions reals: evolució de poblacions, desintegració radioactiva, ...
Gràfica
La gràfica de la funció exponencial varia segons si la base $$a$$ és major o menor que $$1$$ (recordem que sempre ha de ser major que zero i que no pot ser $$1$$).
Vegem a continuació les gràfiques de $$f(x)=3^x$$ i $$h(x)=\displaystyle \Big(\frac{1}{3}\Big)^x$$ per il·lustrar aquest fenomen.
És destacable que la gràfica d'una funció exponencial sempre passa pel punt $$(0, 1)$$.
$$f(x)=3^x$$
$$f(x)=\displaystyle \Big(\frac{1}{3}\Big)^x$$
Propietats
A partir de la seva representació gràfica observem que les funcions exponencials compleixen les propietats següents:
- Domini: $$Dom (f) = \mathbb{R}$$
- Imatge: $$Im (f) = (0, +\infty)$$
- Cotes:acotada inferiorment per $$0$$
- Intersecció amb els eixos: Talla amb l'eix vertical en $$y = 1$$. No talla l'eix horitzontal.
- Continuïtat: És contínua en tot $$\mathbb{R}$$
- Asímptotes: La recta $$y = 0$$ és una asímptota horitzontal (però només en un extrem)
- Periodicitat:No és periòdica.
- Simetries: No és simètrica.
- Monotonia: Si $$a> 1$$, la funció és estrictament creixent. Si $$a <1$$, la funció és estrictament decreixent.
- Extrems relatius: No en té.
- Injectivitat i exhaustivitat: És injectiva (les imatges de punts diferents són diferents), però no és exhaustiva ja que la imatge no és tot $$\mathbb{R}$$