En una equació logarítmica hi ha una o diverses incògnites afectades per un logaritme.
$$\log x+4=6$$
Per resoldre aquest tipus d'equacions cal tenir presents les propietats dels logaritmes, que es resumeixen a continuació:
- $$\log_a x^n=n\cdot \log_a x$$
- $$\log_a (x\cdot y)=\log_a x+\log_a y$$
- $$\displaystyle \log_a \Big( \frac{x}{y}\Big) =\log_ax- \log_a y$$
Però a més, cal tenir en compte les dues regles relacionades amb les operacions amb equacions:
- $$\log_a x= \log_a y \Rightarrow x=y $$
És a dir, si tots dos membres d'una equació estan afectats per logaritmes en base $$a$$ es poden eliminar aquests últims i s'obté una equació equivalent.
- I, hem de recordar la definició de logaritme: $$\log_a x=b \Rightarrow x=a^b$$
O, el logaritme de base $$a$$ de $$x$$ igual a $$b$$, implica que $$a$$ elevat a $$b$$ és el nombre $$x$$.
Sabent aquestes dues regles ja es pot resoldre l'equació $$\log x+4=6$$.
En primer lloc, cal aïllar la $$x$$ en un membre i els termes independents en l'altre: $$$\log x=6-4$$$ S'opera el segon terme: $$$\log x=2$$$ I s'aplica la regla de passar el logaritme a l'altra banda de la igualtat, de manera que s'obté: $$$x=10^2=100$$$
Cal recordar que en passar a l'altra banda, la base de la potència ha de ser la mateixa que la del logaritme.
En l'exemple, l'equació conté un logaritme de base $$10$$ i, per tant, hem de conservar el $$10$$ com la base de la potència.
Si el logaritme fos en base $$2$$, la potència també ho seria. I si la base no ve especificada i el símbol utilitzat és és $$\ln$$ o tenim el símbol $$e$$, aleshores és el nombre $$e$$ que s'hauria d'utilitzar com a base.
$$$\log 4x = \log 2+1$$$ Primer, s'aïllen els logaritmes a un costat i el terme independent a l'altre:$$$\log 4x- \log 2=1$$$ Per la propietat del quocient dels logaritmes el primer terme es pot simplificar de la manera següent: $$$\displaystyle \log \frac{4x}{2}=1$$$
Ara el logaritme es pot passar a l'altra banda de la igualtat en forma de potència: $$$\displaystyle \frac{4x}{2}=10^1 \rightarrow \frac{4x}{2}=10$$$
En aquest punt l'expressió és una equació lineal amb una incògnita normal i corrent i, per tant, senzilla de resoldre. Podem simplificar el $$4$$ i el $$2$$ i obtenim: $$$2x=10 \Rightarrow x=\displaystyle \frac{10}{2}=5$$$
$$$\log(2x+1)=\log x+2$$$ Una opció per resoldre aquesta equació és seguir els mateixos passos utilitzats per a resoldre l'anterior: es deixen les incògnites a una banda i el terme independent a l'altre, de manera que: $$$\log(2x+1)-\log x=2$$$
Per la propietat de la diferència de logaritmes es pot agrupar el primer membre de manera que: $$$\displaystyle \log \Big(\frac{2x+1}{x}\Big) = 2$$$
Ara es pot passar el logaritme a l'altra banda de la igualtat, de manera que s'obté una equació lineal amb una incògnita: $$$\displaystyle \frac{2x+1}{x}=10^2\Rightarrow \frac{2x+1}{x}=100 \Rightarrow 2x+1=100x \Rightarrow 2x-100x=-1 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow -98x=-1 \Rightarrow x=\frac{1}{98}$$$
Una altra opció per a resoldre la mateixa equació, igualment vàlida, és tractar d'expressar el terme independent en forma de logaritme en base $$10$$.
Aleshores podem utilitzar la primera regla que hem introduït per obtenir la mateixa equació lineal amb una incògnita, que sabem resoldre. Però, com expressar $$2$$ com un logaritme? Plantejar una senzilla equació proporciona la resposta gairebé de forma immediata: $$$\log x=2$$$ És a dir, el logaritme decimal de quin número és igual a $$2$$? Per a això només cal aïllar $$x$$, tal com s'ha ensenyat prèviament: $$$x=10^2=100$$$ Ara, es pot plantejar una equació equivalent a la primera, però amb tots els membres dins del logaritme ($$\log 100$$ en comptes de $$2$$): $$$\log(2x+1)=\log x +\log 100$$$
S'agrupa el segon membre per la propietat de la suma de logaritmes: $$$\log(2x+1)=\log(100x)$$$ Ara es poden eliminar els logaritmes, de manera que s'arriba a una equació lineal amb una incògnita semblant a l'obtinguda anteriorment: $$$2x+1=100x \Rightarrow 2x-100x=-1 \Rightarrow -98x=-1 \Rightarrow x=\displaystyle \frac{1}{98}$$$
És important tenir en compte que a l'hora de treballar amb logaritmes hem d'aplicar-los a nombres positius. Així doncs, algunes solucions obtingudes de l'equació lineal poden no ser vàlides.
$$$\log(x-7)-\log 2x=0$$$ En aquest cas es pot tractar d'eliminar els logaritmes i obtenir una equació equivalent. Per a això, es passa el segon terme del primer membre a l'altre costat de la igualtat: $$$\log (x-7)=\log(2x)$$$
En aquest punt, es poden eliminar els logaritmes, de manera que queda una equació lineal amb una incògnita: $$$x-7=2x \Rightarrow x-2x=7 \Rightarrow -x=7 \Rightarrow x=-7$$$
Fins aquí tot sembla correcte, però en substituir el resultat en l'equació logarítmica inicial s'obtindran les següents expressions: $$$\log(-7-7)-\log(2 \cdot (-7))=0 \Rightarrow \log(-14)-\log(-14)=0$$$ El problema és que només existeixen els logaritmes de nombres reals positius. De manera que $$x =-7$$ no és una solució possible.
En aquests casos es diu que l'equació no té solució.