Donada la hipèrbola $$\dfrac{y^2}{2}-\dfrac{(x-4)^2}{18}=2$$, trobar:
a) El centre
b) Els seus vèrtexs
c) La distància focal
Desenvolupament:
a) Identificar primer en l'expressió $$\dfrac{(y-y_0)^2}{a^2}-\dfrac{(x-x_0)^2}{b^2}=1$$ l'equació. Per a això, dividir primer l'equació donada entre $$2$$ perquè quedi a la part de la dreta el mateix. $$$\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{(x-4)^2}{36}=1$$$ A continuació identificar: $$$\dfrac{y^2}{2^2}-\dfrac{(x-4)^2}{6^2}=1$$$ El centre està en $$C(x_0,y_0)$$, per tant $$C(4,0)$$.
b) Els vèrtexs estan en $$F'(x_0,y_0-a)$$ i $$F(x_0,y_0+a)$$. Com $$a=2$$, $$F'(4,-2)$$ i $$F(4,2)$$.
c) Cercar la distància focal: $$c^2=a^2+b^2=2^2+6^2=4+36=40$$. Fer l'arrel: $$$c=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$$$
Solució:
a) $$C (4,0)$$
b) Els vèrtexs es troben en $$F' (4,-2)$$ i $$F (4,2)$$.
c) La distància focal és $$c=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$$