Exercicis de Equació de l'el·lipse amb focus sobre l'eix OX

Desenvolupament:

Atès que els focus estan en l'eix $$OX$$ hem d'emprar l'Equació I de l'el·lipse $$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$$

Ens falta doncs, determinar el valor dels semieixos $$a$$ i $$b$$, que són el semieix major i el semieix menor respectivament.

L'enunciat ens diu que l'el·lipse passa pel punt $$(3,0)$$ pel que ens està determinant quin és el moment en què l'el·lipse talla amb l'eix de les $$x$$ ja que el valor de la $$y$$ en aquest punt és nul.

Així doncs, en realitat ens està dient que distància hi ha del centre de l'el·lipse al punt de tall entre aquesta i l'eix $$OX$$, el que hem definit com semieix major.

Per tant, el valor del semieix major és $$3$$. És a dir, $$a=3$$.

Com també sabem la distància $$c$$ del centre al focus (que és $$2$$), mitjançant la relació $$a^2=b^2+c^2$$ aïllem $$b$$ i trobem que: $$$b=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$$$ Un cop coneixem tots els paràmetres de l'el·lipse, escrivim la seva equació: $$$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{(\sqrt{5})^2}=1$$$ $$$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$$$

Si volem a més calcular la seva excentricitat només falta dividir $$c$$ entre $$a$$. Això és: $$$e=\dfrac{2}{3}$$$

Solució:

$$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$$, $$e=\dfrac{2}{3}$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Si l'eix menor mesura $$4$$, tenim que la distància $$b$$ que és el semieix és $$2b=4 \Rightarrow b=\dfrac{4}{2}=2$$. Substituint en l'equació de l'el·lipse $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$ la $$b$$ pel $$2$$ s'obté que $$a$$ és: $$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1 \text{ i passa pel punt } (x,y)=(2,1)\Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow \dfrac{2^2}{a^2}+\dfrac{1^2}{2^2}=1 \Rightarrow \dfrac{4}{a^2}+\dfrac{1}{4}=1 \Rightarrow a=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$$$ Així l'equació queda: $$$\dfrac{x^2}{\Big(\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Big)^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1 \Rightarrow \dfrac{3x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$$$

Solució:

$$\dfrac{3x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$$

Amagar desenvolupament i solució