Digues si són contínues les següents funcions i si no ho són, explica quins tipus de discontinuïtat presenten:
a) $$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$$
b) $$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1+x}{1-x} & \mbox{ if } & x\neq 1 \\ 0 & \mbox{ if } & x=1\end{array} \right.$$
c) $$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{rcl} x+1 & \mbox{ if } & x\leq 3 \\ x-1 & \mbox{ if } & x > 3\end{array} \right.$$
Desenvolupament:
a) El domini de la funció és $$Dom(f)=\mathbb{R}-{-1}$$ així que hem d'estudiar la continuïtat de la funció en aquest interval.
La funció presenta problemes justament al punt $$-1$$, ja que es divideix per zero, de manera que podríem pensar que probablement no sigui contínua. Però recordem que la definició de funció contínua es fa sobre punts del domini, així que no ens podem plantejar el concepte de continuïtat o discontinuïtat en aquest punt.
A la resta de punts no hi ha problemes de definició i es compleix sempre que: $$(a\neq -1)$$
$$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to a^-}f(x)=\lim_{x \to a} \dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{a^2-1}{a+1} \\ \lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a}\dfrac{x^2-1}{x+1}=\frac{a^2-1}{a+1} \\ f(a)=\frac{a^2-1}{a+1} \end{array}$$$ de manera que la funció és contínua.
b) Hem d'estudiar continuïtat en el punt $$x=1$$, ja que en els altres és contínua: $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1^-} \dfrac{1+x}{1-x}=\dfrac{1+1^-}{1-1^-}=\dfrac{2^-}{0^+}=+\infty \\ \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1+x}{1-x}=\dfrac{1+1^+}{1-1^+}=\dfrac{2^+}{0^-}=-\infty \\ f(1)=0 \end{array}$$$ Pel que tenim una discontinuïtat essencial i la funció no és contínua.
c) Les dues funcions components són contínues. Falta comprovar que connectin bé en el punt $$x=3$$: $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 3^-}f(x)=\lim_{x \to 3} x+1=4 \\ \lim_{x \to 3^+}f(x)=\lim_{x \to 3} x-1=2 \\ f(3)=4 \end{array}$$$ i com els límits laterals no coincideixen i són finits tenim una discontinuïtat inevitable (o de salt finit).
Solució:
a) Funció contínua
b) Funció no contínua. Amb discontinuïtat essencial en $$x=1$$.
c) Funció no contínua. Amb discontinuïtat inevitable en $$x=3$$.