Exercicis de Definició, expressió analítica i propietats del producte escalar

Desenvolupament:

Volem trobar un vector $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$ tal que $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=0$$, ja que és la condició de perpendicularitat que coneixem. Per tant, tenim: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot v_1+(-4)\cdot v_2=0 \Rightarrow v_1=-2v_2$$$

Per tant, qualsevol vector que la seva primera component sigui el doble de la segona component en negatiu servirà. Per exemple $$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-2,1)$$. Donant qualsevol valor a $$v_1$$ n'obtenim un per $$v_2$$. Altres exemples serien:

$$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-4,2)$$

$$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-6,3)$$

$$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-1,\dfrac{1}{2})$$

Solució:

Qualsevol vector que la seva primera component sigui el doble de la segona component en negatiu servirà.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Utilitzem la definició del producte escalar: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$$

• En aquest cas si $$|\vec{u}|=3$$, $$|\vec{v}|=2$$ i $$\text{ang}(\widehat{uv})=60^\circ$$ el cosinus de $$60^\circ$$ és $$\dfrac{1}{2}$$. Així, $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=3\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}=3$$$
• En aquest cas si $$|\vec{u}|=5$$, $$|\vec{v}|=2$$ i $$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{1}{2}$$ ja ens donen el cosinus directament així que tenim: $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=5\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}=5$$$
• En aquest cas si $$|\vec{u}|=1$$, $$|\vec{v}|=3$$ i $$\text{ang}(\widehat{uv})=30^\circ$$ el cosinus de $$30^\circ$$ és $$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$. Així, $$$ \vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=1\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$$

Solució:

• $$ \vec{u}\cdot\vec{v}= 3$$
• $$ \vec{u}\cdot\vec{v}=5$$
• $$ \vec{u}\cdot\vec{v}= 3\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Utilitzem l'expressió analítica del producte escalar: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2$$.

• $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2= 1\cdot3+(-2)\cdot 2=-1$$
• $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=1\cdot0+0\cdot(-2)=0$$
• $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=(-1)\cdot3+2\cdot0=-3$$

Solució:

• $$\vec{u}\cdot\vec{v}=-1$$
• $$\vec{u}\cdot\vec{v}= 0$$
• $$\vec{u}\cdot\vec{v}= -3$$

Amagar desenvolupament i solució