Estudiar el creixement / decreixement en $$x=0$$ de les següents funcions.
a) $$y=x^3$$
b) $$y= \left\{ \begin{array} {rcl} 0 & \mbox{ if } & x \leq 0 \\ -x & \mbox{ if } & x>0 \end{array}\right.$$
Desenvolupament:
a) Vegeu el gràfic
Mirant la gràfica veiem que és una funció creixent, tot i que en $$x = 0$$ s'observa un tram aparentment llis. Es tracta, doncs, d'una funció estrictament creixent en $$x=0$$?
Anem a calcular-ho analíticament. Per això calculem la derivada: $$$y'=3x^2$$$ Vegem quin és el signe de la derivada en els punts situats en un entorn proper a $$x=0$$.
Es veu que per a qualsevol valor de x (diferent de zero) la derivada és positiva. Per tant tots els punts de l'entorn de $$x=0$$ té derivada positiva. Això vol dir que la funció és estrictament creixent en $$x=0$$.
b) Vegeu la derivada en valors propers a $$x=0$$.
Per a valors negatius de $$x$$, la derivada $$y'=0$$.
Per a valors positius de $$x$$, la derivada $$y'=-1$$.
Per tant, $$y'\leq0$$ en un entorn proper a $$x=0$$, i per tant la funció és decreixent en $$x=0$$ (no és estrictament decreixent!)
Solució:
a) Estrictament creixent
b) Decreixent