Dir si es compleix el teorema de Weierstrass en els següents exemples i trobar el màxim absolut i el mínim absolut en l'últim cas:
a) $$f(x)= \sqrt{x}$$ definida en l'interval $$[-2,3.4]$$
b) $$\displaystyle f(x)=\frac{2^{\sqrt{x}-\ln x}}{4x^2+5+e^x}$$ definida en l'interval $$[1,4.666666\ldots]$$
c) $$\displaystyle f(x)=3x^3+x$$ definida en l'interval $$(2,4)$$
d) $$f(x)=x^2+1$$ definida en l'interval $$[0,1]$$
Desenvolupament:
a) Tenim una funció contínua definida en un interval tancat.
b) Tenim una funció contínua ja que per als punts on està definida no hi ha cap divisió per zero i no avaluem el logaritme en punts menors o iguals a zero i a més està definida en un interval tancat.
c) L'interval no és tancat.
d) Tenim una funció contínua definida en un interval tancat. A més, la funció és estrictament creixent en el seu interval de definició de manera que trobarem els màxims i mínims absoluts en els extrems.
Observem doncs que: $$f(0)=1$$ i $$f(1)=2$$, pel que en $$x=0$$ tenim mínim aboslut i en $$x=1$$ tenim màxim absolut.
Solució:
a) Es compleix el teorema.
b) Es compleix el teorema.
c) No es compleix el teorema.
d) Es compleix el teorema i tenim mínim absolut en $$x=0$$ i màxim absolut en $$x=1$$.