Decir si se cumple el teorema de Weierstrass en los siguientes ejemplos y encontrar el máximo absoluto y el mínimo absoluto en el último caso:
a) $$f(x)= \sqrt{x}$$ definida en el intervalo $$[-2,3.4]$$
b) $$\displaystyle f(x)=\frac{2^{\sqrt{x}-\ln x}}{4x^2+5+e^x}$$ definida en el intervalo $$[1,4.666666\ldots]$$
c) $$\displaystyle f(x)=3x^3+x$$ definida en el intervalo $$(2,4)$$
d) $$f(x)=x^2+1$$ definida en el intervalo $$[0,1]$$
Desarrollo:
a) Tenemos una función continua definida en un intervalo cerrado.
b) Tenemos una función continua ya que para los puntos que esta definida no hay ninguna división por cero y no evaluamos el logaritmo en puntos menores o iguales a zero y además está definida en un intervalo cerrado.
c) El intervalo no es cerrado.
d) Tenemos una función continua definida en un intervalo cerrado. Además, la función es estrictamente creciente en su intervalo de definición por lo que encontraremos los máximos y mínimos absolutos en los extremos.
Observamos pues que: $$f(0)=1$$ y $$f(1)=2$$, por lo que en $$x=0$$ tenemos mínimo abosluto y en $$x=1$$ tenemos máximo absoluto.
Solución:
a) Se cumple el teorema.
b) Se cumple el teorema.
c) No se cumple el teorema.
d) Se cumple el teorema y tenemos mínimo absoluto en $$x=0$$ y máximo absoluto en $$x=1$$.