Exercicis de Concavitat i convexitat

Estudia la funció $$f(x)=(x-2)^2(x+1)$$.

Determinar els seus zeros.
Determinar els màxims, mínims i punts d'inflexió.
Determinar els intervals de creixement / decreixement i els intervals còncaus / convexos.
Fer un esquema de la funció.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Determinem els zeros o solucions de la funció:

$$f(x)=(x-2)^2(x+1)=0 \Rightarrow x=2; \ x=-1$$

Determineu els extrems relatius i els punts d'inflexió:

$$f'(x)=2(x-2)(x+1)+(x-2)^2=(x-2)(2(x+1)+x-2)=3x(x-2)$$

Igualem la primera derivada a zero per trobar màxims i mínims:

$$f'(x)=3x(x-2)=0 \Rightarrow x=2; \ x=0. \ \ (f(2)=0; \ f(0)=4)$$

Mirem la segona derivada en cada un dels valors i mirem el seu signe:

$$f''(x)=3(x-2)+3x=6x-6$$

$$f''(2)=5 > 0 \Rightarrow Min$$

$$f''(0)=-6 < 0 \Rightarrow Max$$

Per tant, els extrems relatius són

$$(2,0) \ Min$$; $$(0,4) \ Max$$

Vegem el punt d'inflexió:

$$f''(x)=6x-6=0 \Rightarrow x=1 \ \ (f(1)=2)$$

Per tant hi ha un punt d'inflexió en $$(1,2)$$.

Per estudiar els intervals de creixement / decreixement hem d'analitzar la funció derivada $$f'(x)$$, $$f'(x)=3x(x-2)$$.

Hem vist les arrels, que ens donen els intervals. Vegem cada interval i el valor de la derivada dins d'ell.

$$(-\infty,0) \ f'(-10) > 0 \Rightarrow$$ Creixent

$$(0,2) \ f'(1) < 0 \Rightarrow$$ Decreixent

$$(2,\infty) \ f'(10) > 0 \Rightarrow$$ Creixent

Per estudiar la concavitat hem de mirar la segona derivada en cada interval (ara els Intervals vénen donats Pels zeros de la segona derivada, no de la primera com abans): $$f''(x)=6x-6$$.

Els intervals són:

$$(-\infty,1) \ f''(-10) < 0 \Rightarrow$$ Còncava

$$(1,\infty) \ f''(10) > 0 \Rightarrow$$ Convexa

imagen

Solució:

$$x=2; \ x=-1$$
$$(2,0) \ Min$$; $$(0,4) \ Max$$; Punt d'inflexió en $$(1,2)$$.
Intervals de creixement / decreixement: