366d5c25-9ef0-4b34-ab30-4ad0447999dae7013c7d-c425-4a8a-a6ce-97ed4225e02d6c89a17a-24f3-4809-bf53-6c9b648a61734.2.9.6<p>Estudia la funció $$f(x)=(x-2)^2(x+1)$$. </p> <ol> <li>Determinar els seus zeros.</li> <li>Determinar els màxims, mínims i punts d'inflexió.</li> <li>Determinar els intervals de creixement / decreixement i els intervals còncaus / convexos.</li> <li>Fer un esquema de la funció.</li> </ol><ul> <li>Determinem els zeros o solucions de la funció:</li> </ul> <p>$$f(x)=(x-2)^2(x+1)=0 \Rightarrow x=2; \ x=-1$$</p> <ul> <li>Determineu els extrems relatius i els punts d'inflexió:</li> </ul> <p>$$f'(x)=2(x-2)(x+1)+(x-2)^2=(x-2)(2(x+1)+x-2)=3x(x-2)$$</p> <p>Igualem la primera derivada a zero per trobar màxims i mínims:</p> <p>$$f'(x)=3x(x-2)=0 \Rightarrow x=2; \ x=0. \ \ (f(2)=0; \ f(0)=4)$$</p> <p>Mirem la segona derivada en cada un dels valors i mirem el seu signe:</p> <p>$$f''(x)=3(x-2)+3x=6x-6$$</p> <p>$$f''(2)=5 > 0 \Rightarrow Min$$</p> <p>$$f''(0)=-6 < 0 \Rightarrow Max$$</p> <p>Per tant, els extrems relatius són</p> <p>$$(2,0) \ Min$$; $$(0,4) \ Max$$</p> <p>Vegem el punt d'inflexió:</p> <p>$$f''(x)=6x-6=0 \Rightarrow x=1 \ \ (f(1)=2)$$</p> <p>Per tant hi ha un punt d'inflexió en $$(1,2)$$.</p> <ul> <li>Per estudiar els intervals de creixement / decreixement hem d'analitzar la funció derivada $$f'(x)$$, $$f'(x)=3x(x-2)$$.</li> </ul> <p>Hem vist les arrels, que ens donen els intervals. Vegem cada interval i el valor de la derivada dins d'ell.</p> <p>$$(-\infty,0) \ f'(-10) > 0 \Rightarrow$$ Creixent</p> <p>$$(0,2) \ f'(1) < 0 \Rightarrow$$ Decreixent</p> <p>$$(2,\infty) \ f'(10) > 0 \Rightarrow$$ Creixent</p> <p>Per estudiar la concavitat hem de mirar la segona derivada en cada interval (ara els Intervals vénen donats Pels zeros de la segona derivada, no de la primera com abans): $$f''(x)=6x-6$$.</p> <p>Els intervals són:</p> <p>$$(-\infty,1) \ f''(-10) < 0 \Rightarrow$$ Còncava</p> <p>$$(1,\infty) \ f''(10) > 0 \Rightarrow$$ Convexa</p> <p><img src="funcio.gif" alt="imagen" /></p><ul> <li>$$x=2; \ x=-1$$</li> <li>$$(2,0) \ Min$$; $$(0,4) \ Max$$; Punt d'inflexió en $$(1,2)$$.</li> <li>Intervals de creixement / decreixement:</li> </ul> <p>$$(-\infty,0) \ f'(-10) > 0 \Rightarrow$$ Creixent</p> <p>$$(0,2) \ f'(1) < 0 \Rightarrow$$ Decreixent</p> <p>$$(2,\infty) \ f'(10) > 0 \Rightarrow$$ Creixent</p> <p>Intervals de convexitat / concavitat</p> <p>$$(-\infty,1) \ f''(-10) < 0 \Rightarrow$$ Còncava</p> <p>$$(1,\infty) \ f''(10) > 0 \Rightarrow$$ Convexa</p> <p><img src="funcio.gif" alt="imagen" /></p>18/7/16 11:4418/7/16 11:44