Les combinacions sense repetició de $$n$$ elements presos de $$k$$ en $$k$$ són els diferents grups de $$k$$ elements que es poden formar a partir d'aquests $$n$$ elements, de manera que dos grups es diferencien només si tenen elements diferents (és a dir, no importa l'ordre ). Es representen per $$C_{n,k}$$.
Per exemple,
Considerem el conjunt $$A=\{a,b,c,d,e\}$$ de $$5$$ elements. Observem primer de tot que, per exemple, els grups $$abc$$ i $$cba$$ es consideren iguals, ja que com s'ha dit no importa l'ordre mentre els elements siguin els mateixos.
Anem a veure quines són les diferents combinacions sense repetició d'aquests $$5$$ elements:
- Combinacions sense repetició de $$5$$ elements prenent-ne $$1$$ alhora: $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ i $$e$$.
- Combinacions sense repetició de $$5$$ elements prenent-ne $$2$$ alhora: $$ab$$, $$ac$$, $$ad$$, $$ae$$, $$bc$$, $$bd$$, $$be$$, $$cd$$, $$ce$$ i $$de$$.
- Combinacions sense repetició de $$5$$ elements prenent-ne $$3$$ alhora: $$abc$$, $$abd$$, $$abe$$, $$acd$$, $$ace$$, $$ade$$, $$bcd$$, $$bce$$, $$bde$$ i $$cde$$.
- Combinacions sense repetició de $$5$$ elements prenent-ne $$4$$ alhora: $$abcd$$, $$abce$$, $$abde$$, $$acde$$ and $$bcde$$.
- Combinacions sense repetició de $$5$$ elements prenent-ne $$5$$ alhora: L'únic grup de $$5$$ elements que es pot formar a partir dels elements de $$A$$ és $$abcde$$.
En aquest exemple s'han pogut escriure tots. No obstant això, si $$A$$ hagués tingut molts més elements, això seria molt més complicat.
La fórmula següent ens permet saber quantes combinacions sense repetició de $$n$$ elements presos de $$k$$ en $$k$$ hi ha: $$$\displaystyle C_{n,k}=\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$$
En l'exemple anterior tenim $$n = 5$$. Ara, si es vol saber quantes combinacions hi ha de $$5$$ elements presos de $$3$$ en $$3$$, usem la fórmula i obtenim: $$$\displaystyle C_{5,3}=\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!}=10$$$ Es pot comprovar en la llista anterior que efectivament hi ha $$10$$ conjunts de $$3$$ elements.