Exercicis de Binomi de Newton i triangle de Pascal

  1. Calculeu el desenvolupament de $$(2a-b)^3$$.
  2. Calcular el sisè terme de $$(x+2y)^{10}$$.
  3. Trobar el terme central de $$(3x^2+ay)^8$$.
  4. Quin és el terme que conté $$x^{20}$$ en el desenvolupament de $$(x^2-xy)^{13}$$?
Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

  1. $$$\begin{array}{rl} (2a-b)^3=& \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} (2a)^3 - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} (2a)^3 b + \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} (2a)^2 b^2 - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} (2a) b^3 \\ =& 8a^3-12a^2b+6ab^2-b^3 \end{array}$$$

  2. El sisè terme l'obtindrem fent $$k = 5$$ a la fórmula: $$$\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} x^5(2y)^5= \dfrac{10!}{5!5!}x^5 32 y^5=8064 x^5 y^5$$$

  3. El desenvolupament té $$9$$ termes, el central és el que ocuparà el cinquè lloc, és a dir, el que s'obté fent $$k = 4$$ a la fórmula general: $$$\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} x^4(2y)^4= \dfrac{8!}{4!4!}81 x^8 a^4 y^4=5670 x^8 a^4 y^4$$$

  4. Hem de calcular el valor de $$k$$: $$$(x^2)^{13-k}x^k=x^{2(13-k)}x^k=x^{26-k}$$$ $$$x^{26-k}=x^{20} \ \Rightarrow \ 26-k=20 \ \Rightarrow \ k=6$$$ Serà, per tant, el setè terme.

Solució:

  1. $$8a^3-12a^2b+6ab^2-b^3 $$

  2. $$8064 x^5 y^5$$

  3. $$5670 x^8 a^4 y^4$$

  4. El setè terme.
Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria