Asímptotes d'una funció

Definim una asímptota com una línia recta que pot ser horitzontal, vertical o obliqua a la qual s'aproxima una corba com a gràfica d'una determinada funció.

Aquestes asímptotes solen aparèixer al haver-hi punts on la funció no estigui definida.

Vegem-ho en un exemple, ja que serà més fàcil d'entendre.

Prenguem la funció $$f(x)=\dfrac{1}{x}$$. És clar que quan $$x=0$$ tenim un problema de definició. Justament, és aquí on apareix la asímptota. Vegem la representació gràfica d'aquesta funció:

imagen

Podem observar que quan la funció s'aproxima a $$x=0$$ per la dreta tendeix a infinit acostant-se cada vegada més a la recta $$x=0$$ i per l'esquerra tendeix a menys infinit acostant-se cada vegada més a la mateixa recta $$x=0$$. Llavors diem que $$x=0$$ és una asímptota.

Vegem doncs una definició més exacta d'asímptota d'una funció $$f(x)$$:

Asímptota vertical

Direm que la recta $$x=a$$ (on $$a$$ és una constant) és una asímptota vertical si es compleix alguna d'aquestes dues condicions:

  • $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=\pm\infty$$
  • $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\pm\infty$$

La funció $$f(x)=\dfrac{1}{1+x}$$ té una asímptota vertical en $$x=-1$$, ja que el límit $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^+}f(x)=\pm\infty$$.

imagen

Asímptota horitzontal

Si existeix el límit:

$$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=a$$$

on $$a$$ és un valor finit, aleshores direm que la recta $$y=a$$ és una asímptota horitzontal.

La funció $$f(x)=e^x$$ té una asímptota horitzontal en $$y=0$$ ja que:

$$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0$$$

Asímptota obliqua

Si existeixen els següents límits i són finits:

  • $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=m$$
  • $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}(f(x)-mx)=b$$

llavors direm que té una asímptota obliqua i la recta de la asímptota obliqua està donada per l'equació $$y=mx+b$$.

Les asímptotes obliqües només existeixen en funcions racionals (divisió de polinomis) on el polinomi dividend és d'un grau superior al del polinomi divisor.

La funció $$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$$ té asímptota obliqua ja que els límits següents existeixen:

$$$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{x^2}=1$$$

$$$\displaystyle b=\lim_{x\rightarrow \infty}(f(x)-mx)=\lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2+1}{x}-\frac{x^2}{x}\Big)=\lim_{x\rightarrow \infty}\Big( \frac{1}{x} \Big) =0$$$

i a més la recta $$y=x$$ és la asímptota obliqua.

image

(observem la asímptota obliqua de color verd, la recta $$y = x$$).