Definición y propiedades de logaritmos

Como nos muestran las potencias $$5^3=125$$, pero ¿qué pasa en caso que lo desconocido sea el exponente? $$5^x=125$$

En el ejemplo anterior basta con multiplicar $$5$$ las veces necesarias hasta obtener $$125$$. $$5\cdot5\cdot5=125$$

Al multiplicar $$3$$ veces $$5$$ se consigue $$125$$, así que el valor del exponente es $$3$$.

En el siguiente ejemplo:

$$3^x=2187$$

$$3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot=2.187$$

De modo que el exponente al que hay que elevar $$3$$ para obtener $$2.187$$ es $$7$$.

Hay un modo más práctico de averiguar los exponentes sin necesidad de ir haciendo multiplicaciones hasta dar con la cifra buscada: los logaritmos.

En el primer ejemplo $$5^3=125$$, si se aplica un logaritmo, se obtiene la siguiente expresión: $$$log_5 125=3$$$ donde $$5$$ es la base del logaritmo (al igual que lo era en la potencia), y la expresión se lee logaritmo en base $$5$$ de $$125$$.

Si se aplican logaritmos al segundo ejemplo: $$$log_3 2.187=7$$$

Es decir, logaritmo en base $$3$$ de $$2.187$$.

Teniendo en cuenta que la expresión general de una potencia es $$$a^n=x$$$ el esquema general de un logaritmo es $$$log_a x=n$$$

Esta expresión permite calcular el número $$n$$ al que hay que elevar otro número $$a$$ para obtener $$x$$.

Sólo se puede calcular el logaritmo de un número positivo $$> 0$$ y su base debe ser $$> 1$$.

$$log_3 0$$

No se puede expresar $$0$$ como una potencia de $$3$$. De hecho, no hay ningún número que multiplicado por sí mismo dé $$0$$, por lo que se concluye que no se puede calcular.

$$log_1 20$$

No hay manera de expresar $$20$$ como una potencia de base $$1$$ porque $$1^n=1$$

Elevar $$1$$ a una potencia no tiene mucho sentido, por lo que tampoco lo tiene calcular el logaritmo en base $$1$$. Se puede deducir, por tanto, que la base de un logaritmo tiene que ser un número mayor que $$1$$.

Pero, si sólo se puede calcular el logaritmo de un número $$> 0$$, ¿existe el logaritmo de $$1$$?

$$log_2 1$$

Si se expresa $$1$$ como potencia de base $$2$$ se tiene que:

$$log_2 1=log_2 2^0$$ puesto que $$2^0=1$$

Por este motivo $$log_2 1=log_2 2^0=0$$

El ejemplo permite deducir que, en la expresión general de un logaritmo $$log_a x=n$$, cuando $$x=1$$, el valor del logaritmo, sea cual sea su base, siempre es $$0$$, puesto que el único exponente al que se puede elevar un número para obtener $$1$$ es $$0$$. Dicho de otra forma, puesto que:

$$a^0=1$$ entonces $$log_a 1=0$$.

Calcular logaritmos sencillos puede ser inmediato si se expresa el valor de $$x$$ como una potencia de base igual a la del logaritmo.

Siguiendo con el ejemplo inicial: $$$log_5 125=log_5 5^3=3$$$ De modo que $$3$$ es el número al que hay que elevar $$5$$ para obtener $$125$$.

Más casos: $$$log_2 4=log_2 2^2=2$$$ De manera que $$2$$ es el número al que hay que elevar $$2$$ para obtener $$4$$.

$$log_{10} 1.000=log_{10} 10^3=3$$

Por lo que $$3$$ es el número al que hay que elevar $$10$$ para obtener $$1.000$$.

Estos ejemplos introducen una de las propiedades de los logaritmos, que consiste en $$$log_a x^y = y \cdot log_a x$$$

Pero el logaritmo en base $$a$$ de un número $$a$$ es siempre $$1$$. Por ejemplo:

$$$log_2 2=1$$$ porque el número al que hay que elevar $$2$$ para obtener $$2$$ sólo puede ser $$1$$.

De modo que $$$log_a a^n=n\cdot 1=n$$$

Finalmente hay que recordar que, al estar relacionados con las potencias, los logaritmos también lo están con las raíces, puesto que:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}=x$$

Por lo que, en este caso:

$$log_a x=\dfrac{1}{n}$$

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