Definició i propietats de logaritmes

Com ens mostren les potències $$5^3=125$$, però què passa en cas que allò desconegut sigui l'exponent? $$5^x=125$$

En l'exemple anterior només cal multiplicar $$5$$ vegades fins a obtenir $$125$$. $$5\cdot5\cdot5=125$$

Al multiplicar $$3$$ vegades $$5$$ s'obté $$125$$, així que el valor de l'exponent és $$3$$.

En el següent exemple:

$$3^x=2187$$

$$3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot=2.187$$

De manera que l'exponent al qual cal elevar $$3$$ per obtenir $$2.187$$ és $$7$$.

Hi ha una manera més pràctica d'esbrinar els exponents sense necessitat d'anar fent multiplicacions fins a trobar la xifra buscada: els logaritmes.

En el primer exemple $$5^3=125$$, si s'aplica un logaritme, s'obté la següent expressió: $$$log_5 125=3$$$ on $$5$$ és la base del logaritme (igual que ho era en la potència), i l'expressió es llegeix logaritme en base $$5$$ de $$125$$.

Si s'apliquen logaritmes al segon exemple: $$$log_3 2.187=7$$$

És a dir, logaritme en base $$3$$ de $$2.187$$.

Tenint en compte que l'expressió general d'una potència és $$$a^n=x$$$ l'esquema general d'un logaritme és $$$log_a x=n$$$

Aquesta expressió permet calcular el nombre $$n$$ al qual cal elevar un altre número $$a$$ per obtenir $$x$$.

Només es pot calcular el logaritme d'un nombre positiu $$> 0$$ i la seva base ha de ser $$> 0$$ i diferent a $$1$$.

$$log_3 0$$

No es pot expressar $$0$$ com una potència de $$3$$. De fet, no hi ha cap nombre que multiplicat per si mateix doni $$0$$, per la qual cosa es conclou que no es pot calcular.

$$log_1 20$$

No hi ha manera d'expressar $$20$$ com una potència de base $$1$$ perquè $$1^n=1$$

Elevar $$1$$ a una potència no té gaire sentit, de manera que tampoc ho té calcular el logaritme en base $$1$$. Es pot deduir, per tant, que la base d'un logaritme ha de ser un nombre més gran que $$1$$.

Però, si només es pot calcular el logaritme d'un nombre $$> 0$$, existeix el logaritme d'$$1$$?

$$log_2 1$$

Si s'expressa $$1$$ com a potència de base $$2$$ es té:

$$log_2 1=log_2 2^0$$ ja que $$2^0=1$$

Per aquest motiu $$log_2 1=log_2 2^0=0$$

L'exemple permet deduir que, en l'expressió general d'un logaritme $$log_a x=n$$, quan $$x=1$$, el valor del logaritme, sigui quina sigui la seva base, sempre és $$0$$, ja que l'únic exponent al qual es pot elevar un nombre per obtenir $$1$$ és $$0$$. Dit d'una altra manera, ja que:

$$a^0=1$$ llavors $$log_a 1=0$$.

Calcular logaritmes senzills pot ser immediat si s'expressa el valor de $$x$$ com una potència de base igual a la del logaritme.

Seguint amb l'exemple inicial: $$$log_5 125=log_5 5^3=3$$$ De manera que $$3$$ és el número al qual cal elevar $$5$$ per obtenir $$125$$.

Més casos: $$$log_2 4=log_2 2^2=2$$$ De manera que $$2$$ és el número al qual cal elevar $$2$$ per obtenir $$4$$.

$$log_{10} 1.000=log_{10} 10^3=3$$

Pel que $$3$$ és el número al qual cal elevar $$10$$ per obtenir $$1.000$$.

Aquests exemples introdueixen una de les propietats dels logaritmes, que consisteix en $$$log_a x^y = y \cdot log_a x$$$

Però el logaritme en base $$a$$ d'un nombre $$a$$ és sempre $$1$$. Per exemple:

$$$log_2 2=1$$$ perquè el número al qual cal elevar $$2$$ per obtenir $$2$$ només pot ser $$1$$.

De manera que $$$log_a a^n=n\cdot 1=n$$$

Finalment cal recordar que, en estar relacionats amb les potències, els logaritmes també ho estan amb les arrels, ja que:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}=x$$

Pel que, en aquest cas:

$$log_a x=\dfrac{1}{n}$$