Simplificación de expresiones mediante logaritmos

Vamos a aprender a crear y resolver ejercicios sobre el uso de logaritmos para simplificar expresiones.

El siguiente cociente se podría resolver perfectamente con una calculadora y algo de paciencia:

$$$\dfrac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot3^{37}}$$$

Pero el manejo de números tan grandes, como un exponente $$15$$ y otro $$37$$, se simplifica al aplicar logaritmos.

Sabemos que usando logaritmos un producto de números se transforma en suma, un cociente en resta y una potencia en producto.

Por eso el ejemplo anterior se puede resolver aplicando logaritmos decimales.

$$$log\dfrac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot3^{37}}=\Big(log7^{15}+log5^{\frac{2}{3}}\Big)-\Big(log9^{\frac{3}{4}}+log3^{37}\Big)=$$$ $$$=(15\cdot log7+\dfrac{2}{3}\cdot log5)-(\dfrac{3}{4}\cdot log9+37\cdot log3)\simeq$$$ $$$\simeq(15\cdot0,845 +\dfrac{2}{3}\cdot0,699)-(\dfrac{3}{4}\cdot0,954+37\cdot0,477)\simeq$$$ $$$\simeq12,675+0,466-0,716-17,649\simeq -5,224$$$

Hay que recordar que este resultado es el exponente al que hay que elevar $$10$$ (puesto que se han usado logaritmos decimales) para conseguir el cociente de potencias inicial, de modo que:

$$$\dfrac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot3^{37}}\simeq 10^{-5,224}\simeq 5,97\cdot 10^{-6}$$$

La expresión siguiente también se puede simplificar usando logaritmos:

$$\dfrac{x}{2x\cdot\sqrt[3]{x}}$$

Concretamente, puede aplicarse el logaritmo en base $$x$$, con lo que se consigue expresar el número en la misma base y simplificar así el cociente:

$$$log_x \dfrac{x}{2x\cdot\sqrt[3]{x}}=log_x x - \Big(log_x 2x - log_x x^{\frac{1}{3}}\Big)=$$$ $$$=1-2-\dfrac{1}{3}=-1-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4}{3}$$$

El resultado obtenido será el número al que habrá que elevar $$x$$, ya que se ha utilizado la incógnita como base del logaritmo, de modo que:

$$\dfrac{x}{2x\cdot\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac{4}{3}}$$

Esta capacidad de simplificar los cálculos de los logaritmos también puede trasladarse al ámbito de las ecuaciones. Puede resultar útil, por ejemplo, cuando la incógnita se encuentra en forma de exponente.

En la ecuación $$2^x=10$$

Si se añaden logaritmos a ambos lados de la igualdad se obtiene

$$log2^x=log10 \Rightarrow x\cdot log2=log10 \Rightarrow x=\dfrac{1}{log2}\simeq\dfrac{1}{0,301}\simeq 3,322$$

Por la propiedad de la potencia de un logaritmo resulta fácil despejar $$x$$ de una expresión como la anterior, y de ahí su utilidad.

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