Propiedades del producto y el cociente de logaritmos

Vamos a aprender a crear y resolver ejercicios basados en las propiedades del producto y el cociente de los logaritmos.

Una propiedad de los logaritmos es que: $$$log_a (x\cdot y)=log_a x+log_a y$$$

O, dicho de otro modo, el logaritmo del producto de dos números es la suma de los logaritmos de dichos números.

$$log_2 (8\cdot64)=log_2 8+log_2 64=log_2 2^3+log_2 2^6=3+6=9$$

Asimismo:

$$log_5 (125\cdot625)=log_5 125+log_5 625=log_5 5^3+log_5 5^4=3+4=7$$

Si cuando se tiene un producto de logaritmos se suma, cuando se trata de un cociente hay que restar, por lo que una segunda propiedad de los logaritmos consiste en que: $$$log_a \dfrac{x}{y}=log_a x - log_a y$$$

O, en otras palabras, el logaritmo del cociente entre dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

$$log_3 \dfrac{9}{81}=log_3 9-log_3 81= log_3 3^2-log_3 3^4=2-4=-2$$

Asimismo:

$$log_{10} \dfrac{0,001}{0,01}=log_{10} 0,001-log_{10} 0,01= log_{10} 10^{-3}-log_{10} 10^{-2}=-3+2=-1$$

La base del último ejemplo $$(10)$$ es muy común. De hecho, es uno de los dos tipos de logaritmos que calculan directamente las calculadoras científicas de bolsillo. Se denomina logaritmo decimal y se acostumbra a abreviar como log, sin necesidad de especificar la base.

Otro tipo de logaritmo muy común es el natural o neperiano, que tiene como base el número $$e$$ y se abrevia $$ln$$.

Las propiedades del producto y del cociente de los logaritmos pueden combinarse para reducir expresiones.

Por ejemplo, se puede agrupar la siguiente expresión en un sólo logaritmo: $$$ln127-ln481-ln7+ln74$$$ Primero se agrupan los elementos con el mismo signo: $$$(ln127+ln74)-(ln481+ln7)$$$ Al aplicar las propiedades del producto y del cociente se obtiene que: $$$(ln127+ln74)-(ln481+ln7)=ln(\dfrac{127\cdot74}{481\cdot7}) $$$

La expresión siguiente resume las propiedades de los logaritmos vistas hasta el momento. Hay que intentar reducir la expresión a un solo logaritmo: $$$log10^{-2}-log\dfrac{3}{4}+log13^{\frac{1}{3}}-log5$$$ Primero se agrupan los elementos con el mismo signo:

$$$\Big(log10^{-2}+log13^{\frac{1}{3}}\Big)-\Big(log\dfrac{3}{4}+log5\Big)$$$

Ahora se aplican las propiedades del producto, cociente y la potencia de un logaritmo: $$$\Big(log10^{-2}+log13^{\frac{1}{3}}\Big)-\Big(log\dfrac{3}{4}+log5\Big)=log\dfrac{10^{-2}\cdot13^{\frac{1}{3}}}{\dfrac{3}{4}\cdot5}=$$$ $$$=-2\cdot\dfrac{1}{3}log\dfrac{1\cdot13}{\dfrac{15}{4}}=-\dfrac{2}{3}log\dfrac{52}{15}$$$

Cabe remarcar que las propiedades producto y cociente de los logaritmos se derivan directamente de las propiedades correspondientes de las potencias: $$$log_a (x\cdot y)=log_a x+log_a y$$$ Porque $$a^n \cdot a^m=a^{n+m}$$, y es que aplicar logaritmos implica calcular $$n$$ y $$m$$.

Por otro lado: $$$log_a \dfrac{x}{y}=log_a x-log_a y$$$ ya que $$\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$

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