Cambio de base de los logaritmos

Hay una relación que permite la conversión de logaritmos a cualquier otra base: $$$log_a x=\dfrac{log_b x}{log_b a}$$$

Es decir, si se divide el logaritmo de un número por el logaritmo de la base en la que se quiere expresar se obtiene el valor del mismo logaritmo en dicha base. Por ejemplo:

$$$log_3 7=\dfrac{log7}{log3}\simeq\dfrac{0,845}{0,477}\simeq1,771$$$

Con esta relación se pueden calcular logaritmos distintos de los decimales y los neperianos con una calculadora científica, puesto que se puede aplicar cualquiera de los dos para realizar la conversión. Por ejemplo:

$$log_2 44$$

$$log_2 44=\dfrac{log44}{log2}\simeq5,459$$

O bien:

$$log_2 44=\dfrac{ln44}{ln2}\simeq5,459$$

Además, también permite simplificar logaritmos y expresarlos en una única base, lo que facilita el cálculo. Por ejemplo:

$$log_2 \dfrac{13}{47^8}\cdot log_3\dfrac{\dfrac{1}{17}}{23^{12}}$$

Primero, hay que aplicar las propiedades de los logaritmos para descomponer la expresión:

$$$log_2 \dfrac{13}{47^8}\cdot log_3\dfrac{\dfrac{1}{17}}{23^{12}}=(log_2 13-log_2 47^{-8})\cdot (log_3 17^{-1}-log_3 23^{12})=$$$ $$$=(log_2 13+8\cdot log_2 47)\cdot (-1\cdot log_3 17-12\cdot log_3 23)$$$

En este punto, se aplica el cambio de base: $$$=(log_2 13+8\cdot log_2 47)\cdot (-log_3 17-12\cdot log_3 23)=$$$ $$$=\Big(\dfrac{log13}{log2}+8\cdot\dfrac{log47}{log2}\Big)\cdot\Big(-\dfrac{log17}{log3}-12\cdot\dfrac{log23}{log3}\Big)\simeq$$$ $$$\simeq\Big(\dfrac{1,114}{0,301}+8\cdot\dfrac{1,672}{0,301}\Big)\cdot\Big(-\dfrac{1,230}{0,477}-12\cdot\dfrac{1,362}{0,477}\Big)\simeq$$$ $$$\simeq(3,701+8\cdot5,555)\cdot(-2,579-12\cdot2,855)\simeq$$$ $$$\simeq 48,141\cdot(-36,839)\simeq -1773,466$$$

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