Vectores linealmente independientes y dependientes

Dado un conjunto de vectores decimos que son linealmente dependientes si uno de éstos se puede expresar como combinación lineal de los otros. En el plano, dos vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ que tienen la misma dirección, son linealmente dependientes porque se cumple $$\vec{v}=\lambda\vec{u}$$.

Así pues, podemos decir que todos los vectores paralelos son linealmente dependientes entre ellos, ya que todos tienen la misma dirección.

De la misma forma si dos vectores no tienen la misma dirección son linealmente independientes, ya que uno de estos vectores no se puede expresar como combinación lineal del otro.

En el plano tres vectores siempre son linealmente dependientes porque podemos expresar uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.

Características de la independencia lineal:

1. Dos vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ son linealmente independientes si cualquier combinación lineal de éstos igualada a cero implica que los escalares $$\lambda$$ y $$\mu$$ son nulos: $$$ \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}=\vec{0} \Rightarrow \lambda=0 \ \text{ y } \ \mu=0$$$
2. Dos vectores $$\vec{u}=(u_1,u_2)$$ y $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$ son linealmente inependientes si: $$$\dfrac{u_1}{v_1}\neq\dfrac{u_2}{v_2}$$$