Un espacio vectorial es una estructura matemática formada por un conjunto de vectores, los cuales se pueden sumar, restar entre ellos y multiplicar por escalares. En este apartado, trabajaremos en espacios vectoriales, en los que operaremos con vectores y definiremos el concepto de base.
En el plano, dos vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ forman una base si son linealmente independientes, dado que cualquier vector $$\vec{w}$$ se puede expresar como combinación lineal de éstos dos.
La base formada por $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ se representa como $$B=\{\vec{u}, \vec{v}\}$$.
Dada una base cualquiera $$B=\{\vec{u}, \vec{v}\}$$, $$$\vec{w}= \lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$$
Esta expresión es única, es decir, $$\lambda$$ y $$\mu$$ están unívocamente determinados.
Las coordenadas de $$\vec{w}$$ en la base $$B$$ son $$\lambda$$ y $$\mu$$. De manera que podemos decir que $$\vec{w}=(\lambda,\mu)$$ en la base $$B$$.
De las infinitas bases que podemos encontrar entre los vectores del plano hay una especialmente sencilla: es la que está formada por dos vectores $$\vec{i}$$ y $$\vec{j}$$ perpendiculares entre ellos y de módulo $$1$$. Esta base se denomina base canónica del plano.
Recordamos que dos vectores son perpendiculares cuando forman un ángulo de $$90^\circ$$ entre ellos.
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El vector $$\vec{v}=(2,3)$$ expresado en la base canónica $$B=\{\vec{i}, \vec{j}\}$$ és $$\vec{v}=2\vec{i}+3\vec{j}$$.
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¿Los vectores siguientes forman una base en el plano?
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$$\vec{u}=(1,1)$$, $$\vec{v}=(-3,-3)$$. Como $$\dfrac{1}{-3}= \dfrac{1}{-3}$$ son vectores l.d. (linealmente dependientes) de manera que no pueden formar una base.
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$$\vec{u}=(-1,2)$$, $$\vec{v}=(2,3)$$. Como $$\dfrac{-1}{2}\neq \dfrac{2}{3}$$ son vectores l.i. (linealmente independientes), por lo tanto, forman una base en el plano.
- $$\vec{u}=(4,2)$$, $$\vec{v}=(2,1)$$. Como $$2=\dfrac{4}{2}= \dfrac{2}{1}=2$$ son vectores l.d. (linealmente dependientes) de manera que no pueden formar una base.
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Expresar el vector $$\vec{w}=(4,5)$$ como combinación lineal de los de la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$ donde $$\vec{u}=(1,1)$$ y $$\vec{v}=(2,3)$$.
Queremos encontrar $$\lambda$$ y $$\mu$$ tales que: $$$ (4,5)=\lambda(1,1)+\mu(2,3)= (\lambda,\lambda)+(2\mu,3\mu)=(\lambda+2\mu,\lambda+3\mu)$$$ por lo tanto, $$$ \left. \begin{array}{lr} 4=\lambda+2\mu & (a) \\ 5=\lambda +3\mu & (b) \end{array} \right\} \Rightarrow \ \text{ restando } \ (a)-(b) \Rightarrow 1=\mu \Rightarrow \lambda=4-2\mu=4-2=2$$$
De manera que el vector $$\vec{w}=(4,5)$$ será el $$(2,1)$$ en la base $$B=\{\vec{u},\vec{v}\}$$.